《信号与系统》考点精讲(第2讲连续时间系统时域分析)

第2讲连续时间系统时域分析信号与系统考点重点与典型题精讲系列主讲人：马圆圆网学天地网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲2.1考点重点串讲一、知识结构图网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲二、考点重点串讲1.系统的数学模型——微分方程与转移算子H(p)描述线性时不变系统激励f(t)与响应y(t)关系的微分方程，为一常系数线性非齐次常微分方程：即：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲进一步整理得：上式中：D(p)称为微分方程（或系统）的特征多项式。H(p)称为系统的转移算子或传输算子。为系统的特征方程，其根为微分方程（或系统）的特征根或自然频率，也称系统的固有频率。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲2．系统微分方程的解——系统的全响应系统微分方程的解即为系统的全响应y(t)。全响应可按三种方式分解：（1）全响应y(t)=零输入响应yx(t)+零状态响应yf(t)。（2）全响应y(t)=自由响应+强迫响应。（3）全响应y(t)=瞬态响应+稳态响应。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（2）当D(p)=0的根为n重根（不论实根、虚根或复数根）p1=p2=…=pn时，则其中，A1，A2，…，An为积分常数，应将系统零输入响应yx(t)的初始值及各阶导数的初始值，代入以上两式中确定。3．系统的零输入响应yx(t)及求解指当系统的激励f(t)=0时，仅由系统的初始条件（初始贮能）产生的响应yx(t)。其求法是：（1）当D(p)=0的根为n个单根（不论实根、虚根或复数根）p1，p2，…，pn时，则网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲4．系统的单位冲激响应与单位阶跃响应及求解（1）单位冲激激励δ(t)在零状态系统中产生的响应h(t)，称为单位冲激响应，简称冲激响应。可根据H(p)的部分分式展开式求解。当激励f(t)=δ(t)时，系统的微分方程为①当nm时，若D(p)=0的根为n个单根（不论实根、虚根、复数根）p1，p2，…，pn，则可将H(p)展开成如下形式的部分分式，即：其中，K1，K2，…，Kn为部分分式的待定系数。于是得网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲②当n=m时，可将H(p)用除法化为一个常数bm与一个真分式之和，即若D(p)=0的根中含有r重根声pi，则H(p)的部分分式中将有形如的项，则与之对应的单位冲激响应的形式为i()rKpp−则：③当nm时，h(t)中除了含有指数项和冲激函数外，还要含有直到的冲激函数的各阶导数。ii1e()nptiKUt=∑()mntδ−()tδ网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（2）单位阶跃激励U(t)在零状态系统中产生的响应g(t)，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。（3）h(t)与g(t)的关系网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲5．卷积积分（1）定义（2）卷积积分的上、下限1）若f1(t)、f2(t)均为因果信号，则上、下限可写为：2）若f1(t)为因果信号，f2(t)为一般的无时限信号，则上、下限3）若f1(t)为一般的无时限信号，f2(t)为因果信号，则上、下限4）若f1(t)、f2(t)均为一般的无时限信号，则上、下限：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（3）运算规律1）交换律：2）分配律：3）结合律：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（4）主要性质1）积分2）微分：3）微分积分：上述2）、3）两个性质的成立是有条件的，具体见下页。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲应用2），3）两个性质的条件是必须成立，即必须有11d()()dtfftττ−∞=∫11lim()()0tftf→−∞=−∞=同理必须成立，即11d()()dtfftττ−∞=∫11lim()()0tftf→−∞=−∞=否则不能应用。4）任意时间函数f(t)与δ(t)的卷积推论网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲5）任意时间函数f(t)与U(t)的卷积即任意信号f(t)与阶跃信号U(t)相卷积，相当于信号f(t)通过积分器的响应。6）任意时间函数f(t)与δ′(t)的卷积即任意信号f(t)与冲激偶信号δ′(t)的卷积，相当于信号f(t)通过微分器的响应。7）时移性：若f(t1)*f(t2)=f(t)，则有：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（5）计算卷积的四种方法①查表法；②解析法：利用函数式与卷积的性质计算；③图解法；④数值计算法。用解析法与图解法计算卷积时，积分上、下限的确定是关键，也是难点，应通过做题仔细揣摸。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲（6）卷积积分表网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲6．用卷积积分法求系统的零状态响应线性时不变系统对任意激励f(t)的零状态响应yf(t)，可用f(t)与系统单位冲激响应h(t)的卷积积分求得，即：若f(t)为因果信号，系统为因果系统，则此时h(t)也必为因果信号，故上式的积分限可改写为：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲用卷积积分法其求系统零状态响应yf(t)的步骤是：（1）求系统的单位冲激响应h(t)；（2）根据下式求零状态响应yf(t)：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲7．求系统全响应的零输入零状态法网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲2.2典型题精讲1.f1(t)与f2(t)的波形如图所示，设y(t)=f1(t)*f2(t)，则y(6)=___。(西安电子科技大学考研真题)答案：y(6)=6网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲2.如图所示系统，hl(t)=U(t-2)一U(t-6)，h2(t)=δ(t-2)，h3(t)=δ(t-2)，激励f(t)=U(t)-U(t-4)。求系统的零状态响应y(t)。(西北工业大学考研真题)解：大系统的单位冲激响应为网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲故零状态响应为：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲解由于卷积积分不易求逆运算，故解此题可利用卷积的微分性质求解。3.已知：所以有：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲由解题过程可见，求解此类问题应首先求卷积的微分，使其出现冲激函数，然后再利用已知条件即可求得所需求的fl(t)。（2）由题意，可得：因此有：可得：所以：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲4.有一系统对激励为fl(t)=U(t)时的全响应为y1(t)=2e-tU(t)，对激励f2(t)=δ(t)时的全响应为y2(t)=δ(t)。（1）求该系统的零输入响应yx(t)；（2）系统的起始状态保持不变，求其对于激励为f3(t)=2e-tU(t)的完全响应y3(t)。解：因为所以两种情况下零状态响应的关系为：又可知整理，得：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲因此：代入，可得：因此，全响应为：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲5.已知一个LTI系统起始无储能，当输入el(t)=u(t)，系统输出为，当输入时，系统的零状态响应r(t)是（）。21()2e()()trtuttδ−=+()3e()tetut−=分析：因起始无储能，故rl(t)为阶跃响应。对该响应求导可得冲激响应。然后用卷积定理即可求出系统的零状态响应。解因起始无储能，故r1(t)为阶跃响应。对该响应求导可得冲激响应为网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲则系统对激励的零状态响应为：()3e()tetut−=答案：（D）网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲分析：利用扩展线性时不变系统概念，即零状态线性时不变特性和微分特性、零输入线性和响应可分解性，可以求解本题。待定系数a0、al可根据全响应中齐次解所对应的特征根来判断。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲同时，设系统的单位冲激响应为h(t)，则由线性时不变系统的叠加性可知：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲7．若系统的微分方程为试求系统的零输入响应，零状态响应及自由响应，强迫响应分量。思路和技巧本题要求根据完全响应，确定出其中的各种响应分量。本题的输入激励与齐次解形式重复，故其特解将需要乘上t，故式中出现了te-t项，由此可断定2te-t项对应于特解。至于零状态响应，可先求冲激响应，再求其与输入激励的卷积即可。或者直接设零状态响应，根据系统跳变情况确定待定系数。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲8.计算下列卷积：解：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲9．某LTI系统，其输入e(t)与输出r(t)用下列方程表示：其中，求该系统的冲激响应。解：原微分方程可表示为根据定义，当e(t)=δ(t)时，系统的零状态响应为冲激响应h(t)，即由上式得：将s(t)代入，得：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲由上式可知，h(t)是在el(t)作用下的零状态响应。设上式的冲激响应为hl(t)，则的冲击响应hl(t)满足：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲因此可得：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲点评：对式还有两种解法：（1）用拉氏变换求解；（2）直接根据特征根和激励形式设：代入方程求得待定系数A1=1，A2=2。网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲10．试求如图所示系统的冲激响应。解：系统中只含一个积分器，故系统为一阶系统。因系统有两个加法器，难于直接写出输出y(t)与输入f(t)之间的关系式。通常需设置一个中间变量。设左边加法器的输出为x′(t)，则积分器的输出为x(t)。由左边加法器的输出可列出方程：移项，得：由右边加法器的输出可列出方程：网学天地（）信号与系统考点重点与典型题精讲可以看出，若求出式①的冲激响应hx(t)，则由式②可得到系统的冲激响应：hx(t)满足容易得到hx(0+)=l，此方程的解为代入