高等代数-(王萼芳-石生明-著)-课后答案--高等教育出版社

高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第1页共26页1高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39qxx262()99rx（2）2()1qxxx，()57rxx2、（1）2100pmqm，（2）由22(2)010mpmqpm得01mpq或212qpm。3、（1）432()261339109,qxxxxx()327rx（2）q（x）=22(52)xixi，()98rxi4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)fxxxxxx（2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)fxxxxx（3）234()24(75)5()(1)()2()()fxixiixiixixi5、（1）x+1（2）1（3）2221xx6、（1）u（x）=-x-1，v（x）=x+2（2）11()33uxx，222()133vxxx（3）u（x）=-x-1,32()32vxxxx7、02ut或23ut8、思路：根具定义证明证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设()x是f（x）与g（x）的任意公因式，下证()()xdx。由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而()()xfx，()()xgx，可得()()xdx。即证。9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以（f（x），g（x））h（x）=u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。另一方面，由((),())()fxgxfx知((),())()()()fxgxhxfxhx。同理可得((),())()()()fxgxhxgxhx从而((),())()fxgxhx是()()fxhx与()()gxhx的一个最大公因式，又因为((),())()fxgxhx的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()fxhxgxhxfxgxhx。高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第2页共26页210.证存在u（x），v（x）使有因为f（x），g（x）不全为0，所以(()())0fxgx，由消去律可得所以。11.由上题结论类似可得。12.证由假设，存在使（1）（2），将（1）（2）两式相乘得所以((),())()1fxgxhx13.证由于反复应用第12题结论，可得同理可证从而可得14.证有题设知(),()1fxgx，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以((),()())1fxfxgx同理((),()())1gxfxgx再有12题结论，即证(()(),()())1fxgxfxgx15、132i。16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第3页共26页317、当t=3时有三重根x=1,；当t=154由二重根12x。18、324270pq19、a=1，b=-2。20、证因为f（x）的导函数所以于是从而f（x）无重根。21、证因为，，由于a是的k重根，故a是的k+1重根。代入验算知a是g（x）的根。所以s-2=k+1s=k+3，即证。22、证必要性：设0x是f（x）的k重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是的一重根，并且0x不是的根。于是，而。充分性由而，知0x是的一重根。又由于，知0x是的二重根，以此类推，可知0x是f（x）的k重根。23、解：例如：设11()11mfxxm，那么'()mfxx以0为m重根。24、证要证明，就是要证明f（1）=0（这是因为我们可以把nx看做为一个变量。有题设由，所以也就是f（1）=0，即证。25、当n为奇数时，11212222221(1)[()1][()1].....[()1]nnnnnxxxxxxxx当n为偶数时11212222221(1)(1)[()1][()1].....[()1]nnnnnxxxxxxxxx27、（1）利用剩余除法试根：有一有理根：2（2）有两个有理根：12，12（3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。28、（1）因为1都不是它的根，所以21x在有理数域里不可约高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第4页共26页4（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。（3）不可约（4）不可约（5）不可约第二章行列式习题解答1、均为偶排列2、（1）i=8，k=3（2）i=3k=63、4、当n=4k，4k+1时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列5、(1)2nnk6、正号7、11233244aaaa，12233441aaaa，14233142aaaa8、（1）原式=(1)2(1)!nnn，（2）1(1)!nn（3）(1)(2)2(1)!nnn9、解：行列式展开得一般项可表示为1234512345jjjjjaaaaa，列标345jjj只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。10、解：含有4x的展开项中只能是11223344aaaa，所以4x的系数为2；同理，含有3x的张开项中只能是12213344aaaa，所以3x的系数为-1。11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x，所以若该行列式的第一行展开时含有1nx的对应项系数恰为1(1)n乘一个范得蒙行列式2211122222221111....1..........................1....nnnnnnaaaaaaaaa于是，由1231,,....naaaa为互不相同的数即知含有1nx的对应项的系数不为零，因而p（x）为一个n-1次的多项式。13、（1）529410（2）332()xy（3）48（4）160（5）22xy（6）014、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第5页共26页515、（1）11A=-6，12A=0，13A=0，14A=0，21A=12，22A6，23A=0，24A=0，31A=15，32A=-6，33A=-3，34A=0，41A=7，42A=0，43A=1，44A=-2（2）11A=7，12A=-12，13A=3，21A=6，22A4，23A=-1，31A=-5，32A=5，33A=5，34A=0。16、（1）1（2）1312（3）-483（4）3817、（1）按第一行展开，原式=1(1)nnnxy。（2）从第二列起个人列减去第一列：当n3时，原式=0，当n=2时，原式=2121()()aabb，当n=1时，原式=11ab（3）11()()nniixmm（4）（-2）（n-2）！（5）各列加到第一列得：11(1)(1)(1)!2nnn18、提示：（1）分别将第i（i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行11ia（2）从最后一行起，分别将每一行乘以x后加到起前一行。（3）导出递推关系式（4）同（3）（5）解：高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第6页共26页619、（1）d=-70，1d=-70，2d=-70，3d=-70，4d=-7011dxd=122dxd=133dxd=144dxd=1（2）d=324，1d=324，2d=648，3d=-324，4d=-64811dxd=122dxd=233dxd=144dxd=-2（3）d=24，1d=96，2d=-336，3d=-96，4d=-168，5d=31211dxd=422dxd=-1433dxd=-444dxd=-755dxd=13（4）d=665，1d=1507，2d=-1145，3d=703，4d=-395，5d=21211dxd=105766522dxd=22913333dxd=-373544dxd=7913355dxd=21266520、证明：由得这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。21、13.5613.48第三章线性方程组习题解答1、（1）无穷多解（2）无解（3）（-8,3,6,0）（4）无穷多解（5）无解（6）无穷多解2、（1）123451114444（2）133、证有题设，可以找到不全为零的数使显然。事实上，若，而不全为0，使成立，这与线性无关的假设成立，即证。故即向量可由线性表出。高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第7页共26页74、证设有线性关系带入分量，可得方程组由于，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,....n线性无关。5、证：设有线性关系则当r=n时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即由定理得：方程组有唯一解，就是说线性无关。当rn时，令则由上面（1）的证明可知是线性无关的。而是的延长向量所以也线性无关。6、证：由线性关系，则。再由题设知线性无关，所以解得，所以线性无关7、高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070第8页共26页8证：设是中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量都可由线性表出就可以了。事实上，向量组是线性无关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾。这说明，再由得任意性，即证。8、证：有题设知所以，且等于r。又因为线性无关，故而的一个极大线性无关组。9、证：将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量不能由向量组（2）线性表出，此时将添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。10、证（1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。（2）因为且由可解得所以线性无关。再令带入已知向量后，由于相应