8自旋波理论

分子场理论成功描述了强磁性物质的自发磁化行为，但在低温和居里点附近的温度关系却明显偏离了实验结果。仔细考虑就可知道，出现这个问题并不奇怪，因为根据海森伯模型，交换作用是一种很强的近距离作用，磁矩之间存在着很强的关联，而分子场理论却借用了处理无相互作用粒子体系的朗之万理论，显然不能解释铁磁体的相关行为。自旋波理论计入了自旋之间的长程关联行为，从体系整体激发的概念出发，成功解释了自发磁化在低温下的行为。自旋波理论采用了和海森伯理论相同的模型：原子磁矩来源于未满的、局域在3d轨道上的电子自旋，但和海森伯理论不同，它关注的不是形成自旋磁矩平行排列的机制，而是磁矩平行排列后的行为。一.自旋波的物理图像二.自旋波的半经典理论三.自旋波的量子力学处理四.低温下自发磁化强度随温度变化T3/2定律的推导五.自旋波的实验研究六.自旋波理论的发展参考戴道生《铁磁学》第4章姜书3.8节p159-167。3.3自旋波理论（Bloch1930）自旋波（SpinWave）的概念是1930年布洛赫基于海森伯模型首先提出的。设有N个格点组成的自旋体系，每个格点的自旋为S，假设相邻自旋间的交换作用均相同，且A0，在只考虑最近邻格点交换作用的前提下，体系的交换作用能可以表示为：在绝对零度（T=0K），由于A0，热力学第三定律要求系统中每个格点的自旋呈完全平行状态，每个格点的自旋量子数取最大值S，体系的总磁矩为。这时系统总能量最低，处于基态。0sBMNSg2zijexiEASSF.Bloch.Z.Physik,61,206(1930)他实际上假定了每个格点的自旋为1/2。一.自旋波的物理图像当温度稍微升高，热能使体系中任一自旋发生翻转时，它相邻的格点上的自旋由于交换作用也趋向翻转；另一方面，同样由于交换相互作用近邻格点的自旋也会力图使翻转的自旋重新翻转回来。因此自旋翻转不会停留在一个格点上，而是要一个传一个，以波的形式向周围传播，直至弥散到整个系统，我们把这种自旋翻转在系统中的传播称为自旋波。自旋波是以波矢量k来区分的。这种情形就像晶格振动以格波方式在晶体中传播一样。处理晶格振动的方法可以借用来处理自旋波问题，“磁(振)子(magnon)就是量子化的自旋波”，或说是自旋波的能量量子。和声子一样，它也代表一种集体运动，是固体中一种重要的元激发，是由局域自旋之间存在交换作用而引起的。0K时，在简单铁磁体中（图a），全部自旋是平行的，如假定N个自旋排成一线，按照海森伯模型，其能量是：112NiiexiEASS若把S当做经典矢量处理，则在基态：系统的交换能是：21iiSSS022exENAS第一激发态的能量是多大？图b是其中一个自旋翻转的情况，它可以使能量增加8AS2,1028exexEEAS注：一个翻转引起2个近邻交换能变正，2个变号，相当于求和少4个，所以：1224exEANSKittel一书的叙述但如果让所有的自旋分担这一反向，如图c所示，就可以构成一个能量低得多的激发态，这种低能量的激发态就是自旋波，（自旋矢量在在圆锥面上进动，每一个自旋的相位比前一个自旋都超前一个相同的角度。）自旋系统的这种元激发具有与波相似的形式，它们与晶格振动波类似，自旋波是晶格中自旋的相对取向的振动，晶格振动是晶格原子的相对位置的振动。从俯视图上可以明显看出波的含义。但波的传播方向并不一定垂直于磁场方向。这种画法只是为了方便。黄昆书p417的简要说明：根据局域电子模型，铁磁体的基态是所有自旋沿同一方向排列，在低温下，除处于基态以外，还有一定几率处于低激发态，容易想到一个自旋翻转可以得到最低的激发态，但是，由于每个自旋都与它近邻的自旋相耦合，所以一个自旋的翻转不是简正模式，所有自旋的运动将耦合在一起，从量子力学的观点看，由于翻转的自旋可以处在不同的格点上，因而它们是能量简并的N个量子态，相互作用的微扰有可能使它们组合成能量更低的量子态。（见Kittel书8版p228-230），黄昆书p417-421如同晶格振动情形，我们先讨论原子数为N,间距为a,每个原子自旋为S的一维原子链的运动。只考虑最近邻情况，作用在第p个自旋上的作用能为：如果把p点的磁矩写成：则作用能可表示成：112pppASSSppBSg112effpppppBASSBg中括弧里的项可以理解为作用在p自旋上的一个有效磁场。根据力学定理，角动量的变化速率等于作用在自旋上的力矩：于是给出运动方程：effppB二.自旋波的半经典理论11d2deffpppppppSBASSSSt写成分量形式：11112xpyzzzyyppppppdSASSSSSSdt该方程组是非线性的，如果激发幅度很小，取并略去S的平方项，就得到一个线性方程组：zpSS0)2(2)2(21111dtdSSSSASdtdSSSSASdtdSzpxpxpxpypypypypxp和晶格振动情形一样，设解为：expexpxpypSuipkatSvipkat式中u和v是常数，a是晶格常数，p为标志格点位置的整数代入分量运动方程后，有:24(2)1cos24(2)1cosikaikaikaikaASASiueevkavASASiveeukau方程组对u，v有解的条件是：41cos041cosASikaASkai这就是一维单原子链自旋波的色散关系。241cos8sin2kaASkaAS于是解得：代回方程可以证明：v=-iu这相应于自旋绕z轴做进动。这种进动在晶格中的传播就是自旋波。相邻格点间的位相变化由在简约布里渊区内取值的波数矢量k确定。右图是色散关系的示意图。在长波区域，222221,1sin242kakakaASakk相同极限下，声子∝k自旋波的等效质量：(见戴书p237)22222**4kmmASa102831e110m,500K,2*10kg(10kg)aASmm式中k取值是量子化的，N个原子的一维原子链，周期性边界条件给出：2,0,1,2,,2pNkpNa即ka的取值范围是，即相应于在倒格子的第一布里渊区内取值。,见戴道生《铁磁性》p257-264，姜书p159-164我们也可从交换作用的哈密顿量出发，求解薛定谔方程的本征解，从而给出自旋波的色散关系。主要结果如下：1.能量本征态表征了体系中一个确定的状态，在这一状态中，每个格点自旋翻转的几率都相等，由此可见，自旋翻转不是局域在某一个格点上，而是以同样的概率弥散在晶体的每一个格点上。2.在状态中，不同格点自旋的翻转态之间相差一个相位因子：因此态显示了波动的特性。(a是格点间距)3.与基态相比，一个自旋波带来的能量增量为：kkkikae10(1)1iikkzikrkrEEzAez其中，z为最近邻数。ri是近邻距离三.自旋波的量子力学处理4.一维原子链，近邻z=221coscoscos221cos4sin2kkkakakakaAkaA经典结果中取S=1/2，和这里是一致的。221,kkaAak长波极限下：简单立方情形：6个最近邻：(±a,0,0)(0,±a,0)(0,0,±a,)因此有：1coscoscos321cos1cos1coskxyzkxyzkakakaAkakaka利用展开式，长波极限下为：2422cos1,2!4!kxxxAak与上面一致cossiniei可以证明面心立方晶格和体心立方晶格在长波近似下也有同样结果。（习题3.3）但这个结果不能推广到任意晶格的情况下使用。5.近独立近似下自旋波的总能量：kkkEn如果体系中存在着N个互不干涉、相互独立的自旋波，那末体系自旋波的总能量等于所有自旋波能量的简单叠加：是波矢为k的自旋波个数。在近饱和近似下，自旋波服从Bose统计规律：kn1exp1kkBnkT在温度很低的情况下，体系中自旋翻转的数目很少，被激发到高能态自旋波的概率很低，自旋波相互散射的几率也极小，因而近独立近似，近饱和近似，以及长波近似都能被满足，上面给出的公式是可以适用的。体系中自旋波翻转数等于自旋波的个数：kknn6.自旋波的能量是量子化的，激发一个磁子，相当于一个½自旋的翻转。12kkkn长波近似下l个自旋波的总能量：liiaAkE122关于自旋波服从Bose统计的说明：对于实际体系，格点数目N虽然很大，但总是有限的，在这个体系中，自旋能够翻转的总数不能超过NS。所以对处于每个态的自旋波数目自然也就有了限制。但在远离居里点的低温下，自旋波被激发的数目是很少的，不必要顾及上述的限制，因此可以近似地把自旋波看作是玻色子。理论和实验均表明：铁磁物质在0.5Tc时20.8~0.9,0.05~0.10ckkTMnNM显然在0.5Tc以下，自旋波的玻色性是很好满足的。这里，我们看到一个有趣的事实，尽管组成物质的粒子（电子、质子、中子）是费米子，但由它们组成的元激发（声子、磁子、激子）却可以看成是玻色子。考虑由N个格点组成的自旋体系，体积为V。在低温下（例如T0.5K），如果在温度T时体系自旋翻转总数的统计平均值为n。那么体系在该温度下的自发磁化强度应表示为：（注意，一个自旋波相当于一个自旋的翻转，磁矩减少2s(=1/2)n=n）()01BngMTMNSnNSVNSnMTMMMTMkk)0()()0()0()(或者用自发磁化强度的变化表示：M(T)的计算可以归结为在温度T下对自旋的个数求平均。如何理解本式？各书都未明确说明。习题中可进行讨论。四.低温下自发磁化强度随温度T变化其中系数Q随结构而异，对于简单立方、体心立方和面心立方，Q值分别等于1,2,4,V=Na3/Q。2382/32ASaTkVnBkk32382BNkTQAS(x)是黎曼函数,(3/2)=2.61232()1(0)kkMTnaTMNS其中a与材料的性质和结构有关，对于立方晶格有3322130.0587282BBkkaQSASQSAS通过复杂计算可得到：（习题3.4）这就是Bloch最初得到的结果，被后人称作Bloch定律。它描写了铁磁体在低温下自发磁化强度同温度之间所普遍遵守的规律，在很低的温度下，它与实验结果符合的很好。32TNi的约化磁化强度对约化温度关系见奥书p96kknn求和：233~10cmNk的取值可以近似当作连续的。求和变积分。0ndkkng用和晶格振动相同的方法，可以给出自旋波的态密度：312222142gASa（长波近似下）(,,,0)nn132222013222201d4211d421BkkkTxBnASaexxxASaekT代入求解：1220d0.058741xxxe习题提示：查积分表得知：332200.058702BMTMkTMSQAS考虑到单位体积的原子数：简立方、面心立方、体心立方Q值分别为：1，2，4。3,QNa所以有：以上参见Kittel书8版p231；黄昆书p420-421这虽是一个各书共同的结论，但推导方法却各有所不同，（例如姜书p165），请在习题中论证其是否合理