机械振动基础--第四章--多自由度系统

将具体的结构简化成：多个以各种方式相连接的离散质量、弹性元件和阻尼元件组成的离散振动系统。这种系统称为多自由度振动系统。描述它振动的运动微分方程为常微分方程组。第4章多自由度系统23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm)}({}]{[}]{[}]{[tFxKxCxM本章内容：1)多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有频率和振型的理论；2)分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法；3)用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。§4.1运动微分方程n个自由度的振动系统的运动微分方程可以写为}{)}0({},{)}0({}{}]{[}]{[}]{[00xxxxfxKxCxM一般[M][C][K]不会同时为对角矩阵，方程存在耦合。解耦是在时域内求解方程的重要一环。分别叫：[…]矩阵{…}向量在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、各自由度上所受到的外力关系为：刚度矩阵[K]的元素kij的意义：}]{[}{xKf——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij。11121112122222j1212{}[]{}0010jjnjjnjjjjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkk[K]的定义：外力{f}正好是刚度矩阵[K]的第j列。系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。为使系统保持{ej}的变形状态，所加的外力为：例4.1求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即{x}={yA,yB,y1,y2}T各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。(1)求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时：外力{f}=???f1=k2;f2=0;f3=-k2;f4=011121112122222j1212{}[]{}0010jjnjjnjjjjjnjjnnnjnnnjfKekkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk11=k2;k21=0;k3l=-k2;k41=0(2)求[K]的第二列：yB↑k12＝0，k22＝k4，k32=0，k42=-k4坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T(3)求[K]的第三列。设yl↑k13＝-k2，k23＝0，k33=k2+k1，k43=0(4)求[K]的第四列。设y2↑k14=0，k24=-k4，k34=0，k44＝k2+k4434212442200000000][kkkkkkkkkkK三种求[K]的方法：？？牛顿法、求偏倒法（能量法）、定义法。坐标{x}={yA,yB,yl,y2}T}]{[}{21}]{[}{21}]{[}{21xKxUxCxDxMxETTTTjiTijxxEm2jiijxxDc2jiijxxUk2jiijjiijjiijjiijjiijTjiTijkxxUxxUkcxxDxxDcmxxExxEm222222质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是对称矩阵。用求偏倒的方法写[M][C][K]矩阵：定义法和牛顿法比较麻烦，一般用能量法比较方便：1)写系统的动能、能量耗散函数和势能2)求偏导3)得到矩阵222211222121222ymymLyyIyyMEABBAT针对本例：系统的动能为杆的平动动能和转动动能与两个质量的动能之和，设杆的质心在杆的中点，质量为M。系统的动能为：044434242314132221122222441212332222222211mmmmmLIMyyEmmmyEmmyEmLIMyEmLIMyEmBATTTBTAT21222200000000440044][mmLIMLIMLIMLIMM坐标系{x}={yA,yB,y1,y2}TjiTijxxEm2}]{[}{}]{[}{}]{[}{xKfxCfxMfsim由系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵可以得到系统的惯性力、阻尼力和弹性力：它们的分量分别为施加于各个自由度上的惯性力、阻尼力和弹性力。求解方程：}{)}0({},{)}0({}{}]{[}]{[}]{[00xxxxfxKxCxM——求解一种方法是寻找一个新广义坐标系，使得系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。也就是解耦。——新坐标系与原坐标系存在线性变换关系，因此，要寻找一个可逆线性变换矩阵[u]，将质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵变换为对角矩阵。——为此，我们讨论线性变换前后多自由度系统运动微分方程的关系。设有可逆线性变换[u]，使得}]{[}{yux}]{[}{},]{[}{yuxyux因而有称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。}]{[}{21}]{][[][}{21})]{]([[})]{([21}]{[}{211yCyyuCuyyuCyuxCxDTTTTT}]{[}{21}]{][[][}{21})]{]([[})]{([21}]{[}{211yMyyuMuyyuMyuxMxETTTTTT}]{[}{21}]{][[][}{21})]{]([[})]{([21}]{[}{211yKyyuKuyyuKyuxKxUTTTTT系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关，也就是说，它们是坐标变换下的不变量,因此有：]][[][][]][[][][]][[][][111uKuKuCuCuMuMTTT新旧坐标系下矩阵的关系：两边左乘[u]T，根据：}{}{][}]{[}]{[}]{[111pfuyKyCyMT}{}]{][[}]{][[}]{][[fyuKyuCyuM将{x}=[u]{y}代入方程：得到，新坐标系{y}下的运动微分方程：}{][}{fupT]][[][][]][[][][]][[][][111uKuKuCuCuMuMTTT得到：其中：是新坐标{y}下的广义激励。}{)}0({},{)}0({}{}]{[}]{[}]{[00xxxxfxKxCxM}]{[}]{[][1yMxMuT此时，方程解耦了！为求{x}=[u]{y}的逆变换，在其两边左乘[u]T[M]得即：}]{[][][}{11xMuMyT坐标系{y}下的初始条件为：)}0(]{[][][)}0({)}0(]{[][][)}0({1111xMuMyxMuMyTT}{}{][}]{[}]{[}]{[111pfuyKyCyMT问题转化为坐标{y}微分方程的定解)}0(]{[][][)}0({)}0(]{[][][)}0({1111xMuMyxMuMyTT思路：{x}坐标系下的微分方程和初试条件{x}坐标系下的微分方程解{y}坐标系下的微分方程和初试条件耦合，不能求解[u]坐标转换解耦{y}坐标系下的微分方程解微分方程相互，可求解[u]T坐标逆转换§4.2固有频率与振型——系统的固有频率和振型一一对应。系统求解的思路：1)设系统解为简谐振动：2)代入微分方程：3)得到广义特征值问题：4)得到特征方程或频率方程：5)求得w1，w2并取w1w2;6)代回广义特征值问题，求得振型{u}。)cos()(wtAtg0)(}]{[)(}]{[tguKtguM0}]){[]([2uMKw0][][)(22MKww0}]{[}]{[xKxMtuxwcos}{}{无阻尼自由振动系统的运动微分方程为：在特殊初始激励下，系统无阻尼自由振动是简谐振动，也就是固有振动。形式为：其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。0cos})]{[}]{[(2tuKuMww0}]){[][(2uKMw02ijijmkw这就是频率方程。0}]){[]([2rruMKwnr,,2,1将代入方程得到tuxwcos}{}{0}]{[}]{[xKxM方程有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零，即：这是以w2为未知数的n次代数方程，解之可得n个根，w1，w2，......wn。依次代入广义特征值问题方程可以得到n个方程广义特征值问题求出与w2r相对应的非零的{ur}。就是与固有频率对应的振型。0}]){[]([2rruMKw由：固有频率振型如果w2r是是频率方程（4.13）的k重根（k正整数，kn）,则有：11rrrk此时系数矩阵的秩为m-k。例4.2如图所示：两个相同的质量以弹簧相联。求它的固有频率与振型。1)两个质量以相同位移同向运动时：弹簧无变形，整个系统如同一个刚体在运动。即振型为{u1}={1,1}T时，w12＝02)两个质量以相同位移反向运动时：弹簧有变形，势能大于零。即振型为{u2}={-1,1}T时，w220。——这是一个对称系统，对称点为弹簧是的中点。它有两种固有振动：mmMkkkkK00][,][1)写[K][M]：mk/2,021ww2)由特征方程计算固有频率：3)取wr2的正平方根wr，称为系统的第r阶固有频率，而相应地称{ur}为系统的第r阶固有振型，简称振型。并将固有频率按由小到大的顺序编号n21系统的固有频率和振型与激励无关，由[K]和[M]决定。同样，由能量法可获得相同的结果：0][][)(22MKww如果振型{ur}满足则对任意非零常数c，c{ur}也满足上式。即振型只是给出了振动方向和相对振幅，而振型大小需要人为指定。称指定振型的大小为振型的正规化。0}]){[]([2rruMKw(1)令{ur}满足1}]{[}{rTruMu此时在式(4.14)两边左乘{ur}T可得22}]{[}{}]{[}{rrTrrrTruMuuKuww振型正规化方案有多种，常用的有以下几种：0}]){[]([2rruMKw(2)令{ur}的某一分量（常取绝对值最大的分量）为1；其他分量等比缩小。如：{ur}={2,1.4,0.8,0.6}正规化得到：{ur}={1,0.7,0.4,0.3}振型的性质：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量矩阵和刚度矩阵为权正交，这个性质称为振型的正交性。0}]{[}{0}]{[}{rTsrTsuKuuMusrsrww前提：数学表示为：证明过程：由0}]){[]([2rruMKw可得}]{[}]{[2rrruMuKw}]{[}]{[2sssuMuKwsrww这里左乘{us}T得：}]{[}]{[2rrruMuKw}]{[}]{[2sssuMuKw左乘{ur}T，再转置得：}]{[}{}]{[}{2rTsrrTsuMuuKuw}]{[}{}]{[}{2rTssrTsuMuuKuw}]{[}){(022rTssruMuww不为0因此：0}]{[}{0}]{[}{rTsrTsuKuuMusrsrww即：振型的正