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北京航空航天大学研究生课程试卷B-1-2014-2015学年第一学期期末试卷答案学号姓名成绩考试日期:2015年1月13日考试科目:《应用数理统计》(B层)一、填空题(本题共16分,每小题4分)1.设122,,nxxx,是来自正态总体2(,)N的简单样本,则cnmm时,统计量2221122211()()mkkknkkkmxxcxx服从F分布。2.设12,,nxxx,是来自正态总体2(0,)N的简单样本,用22211ˆ()niinxxn估计2,则均方误差2222ˆ()E42。3.设总体X的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]xxpxx,其中0,12,,,nxxx是来自总体X简单样本,则2()q的矩估计ˆq294x或212niixn。4.在双因素方差分析中,总离差平方和TS的分解式为TABABeSSSSS其中2111()pqreijkijijkSxx,11rijijkkxxr,则eS的自由度是(1)pqr或北京航空航天大学研究生课程试卷B-2-npq,其中npqr。二、(本题12分)设总体X的密度函数为111,(0,1)(;)0,(0,1)xxfxx,其中0,12,,,nxxx是来自总体X的简单样本。(1)求的极大似然估计ˆ;(2)求的一致最小方差无偏估计;(3)问的一致最小方差无偏估计是否为有效估计?证明你的结论。解(1)似然函数为(1)()11{01}1211()()(,,,)nnixxnniLxIxxx对数似然函数为(1)(){01}1211ln()ln(1)lnln(,,,)nnixxniLnxIxxx求导,有21ln()1lnniiLnx令ln()0L,可得的极大似然估计为11ˆlnniixn。(2)因为(1)()1112{01}1211(,,,;)()(,,,)nnnixxnnifxxxxIxxx(1)(){01}12111(,,,)exp{(1)ln}nnxxniniIxxxx令1()nc,(1)(){01}12()(,,,)nxxnhxIxxx,1()1w,1lnniiTx,由于()w的值域(0,)有内点,由定理2.2.4知1lnniiTx是完全充分统计量。而11101(ln)(ln)iExxxdx北京航空航天大学研究生课程试卷B-3-所以11(ln)(ln)nniiiiExExn因而11ˆlnniixn既是完全充分统计量1lnniiTx的函数,又是的无偏估计,由定理2.2.5知11ˆlnniixn是一致最小方差无偏估计。(3)由于11ˆ()(ln)VarVarxn,而22111(ln)(ln)((ln))VarxExEx11122201(ln)xxdx所以21ˆ()Varn。又因为当(0,1)x时,2223ln(;)12lnfxx,所以222ln(;)1()()fxIE从而22()ˆ()()VarnnI,即信息不等式等号成立,故11ˆlnniixn是的有效估计。三、(本题12分)设nxxx,,,21是来自正态总体20(,)N的简单样本,其中20是已知常数,是未知参数。考虑假设检验问题0010::HH(1)求显著性水平(01)下的似然比检验;(2)求犯第二类错误的概率。解:(1)当0时,的极大似然估计为0ˆmin{,}x似然比统计量为北京航空航天大学研究生课程试卷B-4-01212120sup{(,,,;)}(,,,)(,,,;)nnnpxxxxxxpxxx0200201,1exp{()},2xxxn令020xUn,则012201,(,,,)1exp{},2nxxxxUx即1221,0(,,,)1exp{},02nUxxxUU由于12(,,,)nxxx的最小值是1,所以当0H成立()x远离1时拒绝0H,即()xc拒绝0H,只有在0U时才能获得,因而有001{()}{}PxcPUc又由于0H成立时,U服从(0,1)N,因此11cuu。故似然比检验的统计量可取为020xUn,拒绝域为012120{(,,,):}nxWxxxUun。(2)二类错误的概率为0112200{}{}xPUzPunn01201()un,0北京航空航天大学研究生课程试卷B-5-四、(本题10分)考虑某四因子二水平试验,除考察因子DCBA,,,外,还需考察交互作用BA,AC。今选用表)2(78L,表头设计及试验数据如表所示,所考虑指标是越小越好。试用极差分析方法指出因子的主次顺序和较优工艺条件。1jK3.84.083.624.054.214.053.972jK4.13.824.283.853.693.853.93jR0.30.260.660.20.520.20.04因素影响主次BA,AC;A,B,C;D最优方案1A1B2C2D1B2B1A1.822A2.281.821C2C1A2.081.72列号试验号ABBACACD1234567实验数据12345678111111111122221221122122221121212122122121221122122121121.020.781.060.941.121.160.850.97北京航空航天大学研究生课程试卷B-6-2A1.972.13五、(本题10分)随机向量),,(321xxx的相关系数矩阵111R(1)根据主成分75%的选取标准,若只选取一个主成分,求满足的条件。(2)试求第一主成分。解:(1)求特征根21||1(1)(12)1IR令||0IR,可得112,21,11。若只选取一个主成分,只要1123120.83,即0.7。(2)求解齐次线性方程组1232202uuu可获得对应于特征值112的单位特征向量为111(,,)333,则第一主成分为1123111333yxxx。北京航空航天大学研究生课程试卷B-7-
本文标题:北航2014级硕士研究生应用数理统计答案(B卷)
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