第三节--两因素完全随机设计试验资料的方差分析-《生物统计学》课件

第三节两因素完全随机设计试验资料的方差分析下一张主页退出上一张下一张主页退出上一张11111ababijijijijxxxxab111najijjijiixxxxa111bbiijiijjjxxxxb两因素单个观测值试验的数学模型为：下一张主页退出上一张(1,2,,;1,2,,)ijijijxiajb式中μ为总平均数；αi，βj分别为Ai、Bj的效应:αi=μi-μ，βj=μj-μμi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，且Σαi=0,Σβj=0;εij为随机误差，相互独立，且服从N(0，σ2)。下一张主页退出上一张两因素交叉分组单个观测值的试验资料，A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平有a次重复，每个观测值同时受到A、B两因素及随机误差的作用。因此全部ab个观测值的总变异可以分解为A因素水平间变异、B因素水平间变异及试验误差三部分。下一张主页退出上一张平方和与自由度的分解式如下：TABeTABeSSSSSSSSdfdfdfdf下一张主页退出上一张221111()ababTijijijijSSxxxC总平方和下一张主页退出上一张各项平方和与自由度的计算公式为矫正数2xCab误差平方和SSe=SST-SSA-SSB22111()bbBjjjjSSaxxxCaB因素平方和22111()aaAiiiiSSbxxxCbA因素平方和总自由度dfT=ab-1A因素自由度dfA=a-1B因素自由度dfB=b-1误差自由度dfe=dfT-dfA–dfB=(a-1)(b-1)下一张主页退出上一张【例5-5】为了研究不同的田间管理方法对草莓产量的影响，选择了6个不同的地块，每个地块分成3个小区，随机安排3种田间管理方法，所得结果见表5-22，试作方差分析。下一张主页退出上一张这是个两因素单个观测值试验结果。A因素有6个水平，即a=6；B因素有3个水平，即b=3；共有a×b=6×3=18个观测值。下一张主页退出上一张1、计算各项平方和与自由度222211(221272253)106414.222231435.1111AiSSxCb221384106414.222263xCab22222(71738685)106414.22221737.7778TijSSxC222211(442459483)106414.22226141.4444BjSSxCa1737.77781435.1111141.4444161.2223eTABSSSSSSSS16311716151312175210TABeTAedfabdfadfbdfdfdfdf下一张主页退出上一张2、列出方差分析表，进行F检验下一张主页退出上一张F捡验结果表明：不同地块和不同田间管理方法对草莓的产量均有显著或极显著影响，有必要进一步对A、B两因素不同水平的平均产量进行多重比较。3、多重比较(1)不同地块的草莓平均产量比较，采用q法(见表5-24)。在两因素单个观测值试验情况下，A因素每一水平的重复数恰为B因素的水平数b。下一张主页退出上一张根据dfe=10，秩次距k=2,3,4,5,6从附表5中查出α=0.05和α=0.01的临界q值，与标准误相乘，计算出最小显著极差LSR，q值及LSR值列于表5-25。16.12222.31823iexMSSb下一张主页退出上一张（2）不同田间管理方法的草莓平均产量比较B因素各水平平均数比较表见表5-26。在两因素单独观测值试验情况下，B因素(本例为田间管理方法)每一水平的重复数恰为A因素的水平数a。B因素的标准误根据dfe=10，秩次距k=2，3，查临界q值并与相乘，求得LSR，见表5-27。6392.161222.16.aMSSejxjxS在进行两因素或多因素的试验时，除了研究每一因素对试验指标的影响外，往往更希望研究因素之间的交互作用。例如，通过对播种期、播种密度、施氮量、施钾量、施磷量对作物生长发育的影响有无交互作用的研究，对最终确定有利于作物生产的最佳栽培技术体系是有重要意义的。下一张主页退出上一张前面介绍的两因素单个观测值试验只适用于两个因素间无交互作用的情况。若两因素间有交互作用，则每个水平组合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：下一张主页退出上一张(1)在这种情况下，SSe，dfe实际上是A、B两因素交互作用平方和与自由度，所算得的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用引起的变异。(2)这时若仍按【例5-5】所采用的方法进行方差分析，由于误差均方值大(包含交互作用在内)，有可能掩盖试验因素的显著性，从而增大犯Ⅱ型错误的概率。因此，进行两因素或多因素试验时，一般应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研究因素间的交互作用。下一张主页退出上一张(3)因为每个水平组合只有一个观测值，所以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因素的交互作用进行研究。(二)两因素有重复观测值试验资料的方差分析对两因素和多因素有重复观测值试验结果的分析，能研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用(互作)效应。下一张主页退出上一张1、简单效应在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。如在表5-28中，在A1(不追肥)上，B2-B1=480-470=10在A2(追肥)上，B2-B1=512-472=40在B1(不除草)上，A2-A1=472-470=2在B2(除草)上，A2-A1=512-480=32就是简单效应。简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。下一张主页退出上一张2、主效应由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应。如在表5-28中，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2水平的平均数减去A1水平的平均数，即A因素的主效应=492-475=17同理B因素的主效应=496-471=25主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。下一张主页退出上一张3、交互作用(互作)在多因素试验中，一个因素的作用要受到另一个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。如在表5-28中：A在B1水平上的效应=472-470=2A在B2水平上的效应=512-480=32B在A1水平上的效应=480-470=10B在A2水平上的效应=512-472=40下一张主页退出上一张A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在交互作用。互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。表5-28中的互作效应为：(470+512-480-472)/2=15下一张主页退出上一张互作效应实际指的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。如在表5-28中：A2B1-A1B1=472-470=2，这是追肥单独作用的效应；A1B2-A1B1=480-470=10，这是除草单独作用的效应；两者单独作用的效应总和是2+10=12。下一张主页退出上一张但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12。这就是说，同时追肥、除草产生的效应不是单独某田间管理措施所产生效应的和，而另外多增加了30，这个30是两种田间管理措施共同作用的结果。若将其平均分到每种田间管理头上，则各为15，即估计的互作效应。下一张主页退出上一张设A与B两因素分别具有a与b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。这类试验结果方差分析的数据模式如表5-29(P129)所示。下一张主页退出上一张两因素有重复观测值试验资料的方差分析法11111111inijijllbnijljlanjijlilabnijlijlxxxxxxxx11111111nijllijbnijljlianijliljabnijlijlxxnxxbnxxanxxabn下一张主页退出上一张两因素有重复观测值试验的数学模型为:其中，为总平均数；αi为Ai的效应；βj为Bj的效应；(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应；ijl为随机误差，相互独立，且都服从N(0，σ2)。()(1,2,,;1,2,,;1,2,,)ijlijijijlxiajbln下一张主页退出上一张.,ii.ii.jj分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体平均数；且1111110,0,()()()0abnbabijijijijijijijjiijij..)(,,ijij下一张主页退出上一张(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应因试验资料的总变异可分解为水平组合间变异与水平组合内变异即误差两部分，若记A、B水平组合间的平方和与自由度为SSAB，dfAB，则两因素有重复观测值试验资料方差分析平方和与自由度的分解式可表示为:eABTeABTdfdfdfSSSSSS因A、B水平组合间变异可再分解为A因素，B因素，A因素与B因素交互作用变异三部分，于是SSAB、dfAB可再分解为：BABAABBABAABdfdfdfdfSSSSSSSS其中，SSA×B，dfA×B为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。eBABATeBABATdfdfdfdfdfSSSSSSSSSS下一张主页退出上一张两因素有重复观测值试验结果方差分析平方和与自由度的分解式为：各项平方和、自由度的计算公式如下：21TijlTSSxCdfabn，总平方和与自由度矫正数2xCabn211ABijABSSxCdfabn，水平组合平方和与自由度A因素平方和与自由度211AiASSxCdfabn，211BjBSSxCdfban，B因素平方和与自由度交互作用平方和与自由度)1)(1(,badfSSSSSSSSBABAABBA误差平方和与自由度)1(,nabdfSSSSSSeABTe【例5-6】为了研究不同的种植密度和商业化肥对大麦产量的影响，将种植密度(A)设置3个水平、施用的商业化肥(B)设置5个水平，交叉分组，重复4次，完全随机设计。产量结果(kg/小区)列于表5-30(P131)，试分析种植密度和施用的商业化肥对大麦产量的影响。下一张主页退出上一张方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2222272930628.3333TijlSSxCC22221108104120573.33334ABijSSxCnC下一张主页退出上一张22181054601.6667354xCabn22221357346332207.166634BjSSxCanC22221555590665315.833354AiSSxCbnC628.3333573.333355.0000eTABSSSSSS573.3333315.8333207.166750.3334ABABABSSSSSSSS1354159Tdfabn13121514(1)(1)(31)(51)8ABABdfadfbdfab下一张主页退出上一张(1)35(41)45edfabn135114ABdfabF捡验结果表明：种植密度、商业化肥及其互作对大麦的产量均有极显著影响。应进一步进行种植密