【大学课件】浙大数字信号处理课件--第四章连续时间信号的采

第四章连续时间信号的采样4.0引言4.1周期采样4.2采样的频域表示4.3由样本重构带限信号4.4连续时间信号的离散时间处理4.6利用离散时间处理改变采样率4.8模拟信号的数字处理4.9噪声成形量化器(Delta-Sigma调制器)4.1周期采样三个概念：连续时间信号xc(t)、采样信号xs(t)、离散时间信号x[n]其中离散时间信号一般是由连续时间信号周期采样得到的，也即：x[n]=xc(nT),-∞n∞其中T为采样周期，其倒数fs=1/T为采样频率，或用弧度单位rad/s，表示为Ωs=2π/T。从连续时间信号到离散时间信号的转换过程，可用框图表示为：注意，在x[n]中，n是一个无量纲量。C/Dxc(t)x[n]=xc(nT)T采样信号采样信号xs(t)实际上是从连续时间信号到离散时间信号的一个中间状态。也就是说，一个完整的C/D过程，包括两个步骤：从连续时间信号到采样信号，再从采样信号到离散时间信号。如框图：采样信号是一种连续信号，在所有时间域上都有定义。从采样信号到离散时间信号，经过了时间域上的离散化，以及时间的归一化。冲激串到离散时间序列的转换╳x[n]=xc(nT)xc(t)xs(t)s(t)采样过程C/D转换过程采样的过程xs(t)T=1stTTTTTTTTTTt(s)xc(t)nx[n]4.2采样的频域表示首先，考虑从连续时间信号xc(t)到采样信号xs(t)的转换，其中调制这一过程的周期冲激串可以表示为：注意，这里的δ(t)是连续域内的冲激函数，而不是离散脉冲。这样，采样信号可表示为：s(t)的傅立叶变换为：则，Xc(jΩ)被整数倍的采样频率移位，然后叠加起来得到采样信号的傅立叶变换。nnTtts)()(nccsnTttxtstxtx)()()()()(kskTjS)(2)(ksccskjjXTjSjXjX)(1)(*)(21)(4.24.34.54.6采样频域表示图解Xc(jΩ)，连续时间信号的傅立叶变换Ω-ΩNΩN1ΩsΩS(jΩ)，周期冲激信号s(t)的傅立叶变换2Ωs3Ωs-Ωs-2Ωs-3Ωs02π/TΩsΩ2Ωs3Ωs-Ωs-2Ωs-3Ωs01/TΩC)(*)(21)(jSjXjXcs几个要点•由于实数序列的傅立叶变换对称性质，实际上采样信号频谱能表现出来的最高频率，为Ωs/2。•卷积之后，采样信号频域表示的幅值为1/T，除此之外，所有分量的形式都与连续信号的频域一致。•无论原信号最高频率是多少，一旦被采样，采样信号的频率范围就被限制到[0,Ωs)或[-Ωs/2,Ωs/2)。•注意到Ωs=2π/T，在时间做归一化之后，Ωs/2与离散时间域内的π对应，这与离散域内的高低频分布是一致的。Ω0Ωs/2Ωs3Ωs/22Ωs低频低频低频低频高频高频高频高频采样信号高低频的特殊性（注意此处的高低频指采样信号的高低频）：混叠现象Xc(jΩ)，连续时间信号的傅立叶变换Ω-ΩNΩN1ΩsΩS(jΩ)，周期冲激信号s(t)的傅立叶变换2Ωs3Ωs-Ωs-2Ωs-3Ωs02π/TΩsΩ2Ωs3Ωs-Ωs-2Ωs-3Ωs01/TΩN)(*)(21)(jSjXjXcsΩsΩ2Ωs3Ωs-Ωs-2Ωs-3Ωs01/T从采样信号中恢复原信号Hr(jΩ)╳xr(t)xc(t)xs(t)s(t)Xc(jΩ)，连续时间信号频谱Ω-ΩNΩN1Xr(jΩ)，恢复的连续时间信号频谱Ω-ΩNΩN1Xs(jΩ)，采样信号频谱Ω-ΩNΩN1/TΩS-ΩSHr(jΩ)，低通滤波器，ΩNΩCΩs-ΩNΩ-ΩCΩCT低通滤波器采样定理令xc(t)是一个带限信号，即：Xc(jΩ)=0，对于|Ω|ΩN则当xc(t)能由其采样序列x[n]=xc(nT)，n=0,±1,±2,…所唯一确定。ΩN通常被称为奈奎斯特频率（Nyquistfrequency）2ΩN通常被称为奈奎斯特率（Nyquistrate）如果要保证原连续时间信号完全不失真，则采样频率必须大于奈奎斯特率。NsT22离散时间信号的傅立叶变换X(ejω)由于采样信号的傅立叶变换，可以写作：由于x[n]=xc(nT)以及综合以上三个式子，可以看出：Xs(jΩ)=X(ejω)|ω=ΩT=X(ejΩT)即有：TnjncsenTxjX)()(nnjjenxeX][)(4.154.174.16kcTkscTsjTkTjXTkjjXTjXeX))2((1)(1)()(也就是，对采样信号的傅立叶变换，以归一化因子ω=ΩT进行频率尺度变换。Ωs=2π/T，则归一之后Ωs对应了离散时间信号频谱中的2π。4.3样本重构带限信号和标准的C/D过程一样，标准的D/C过程也包括两个步骤：将离散时间信号x[n]转换成采样信号xs(t)，再将xs(t)转换为连续时间信号xc(t)：序列转换为冲激脉冲串理想重构（低通）滤波器Hr(jΩ)x[n]xs(t)xr(t)采样周期理想重构系统其中，第一个步骤可表示为：第二个步骤可表示为：nsnTtnxtx)(][)(nrrnrsrnTthnxthnTtnxthtxtx)(][)(*))(][()(*)()(插值函数理想重构滤波器的一种常见形式是：,0-)(其它，TTTjHrπ/T-π/TΩTHr(jΩ)其时域形式：TtTtthr/)/sin()(hr(t)被称为插值函数，它有两个显著特性：•当t=0时，hr(0)=1•当t取T的整数倍（除0以外）时，hr(nT)=0T-T-2T-3T-4T2T3T4Tt0插值函数的移位叠加hr(t)hr(t-T)hr(t-2T)…0T-T2T3T由于hr(t)的特殊性，hr(t)的移位叠加，在T的整数倍nT点上，只有hr(t-nT)起作用。插值公式nrrnTthnxtx)(][)(将插值函数hr(t)代入重构公式：得到：即为插值公式。它保证了在每个T的整数倍点上，有：xr(mT)=xc(mT)D/C转换器的频域描述：理想D/C转换器的输出总是将输入信号带限到低通滤波器的最高截止频率，该截止频率一般都取为采样频率的一半（实际上，这也是采样信号所能区分的最高频率）。nrTnTtTnTtnxtx/)(]/)(sin[][)(4.25)()()(TjrreXjHjX4.4连续时间信号的离散时间处理离散时间系统具有一些优越性，例如精确、易于实现、成本低廉等，所以在实用中，经常利用离散时间系统来处理连续时间信号，这就需要先将连续时间信号转换为离散时间信号，在处理之后，再转换回连续时间信号。离散时间系统D/CC/DTTx[n]y[n]yr(t)xc(t)其中，C/D过程可表示为：D/C过程可表示为：其中kcjcTkTjXTeXnTxnx))2((1)()(][)()()(/)(]/)(sin[][)(TjrrnreYjHjYTnTtTnTtnyty,0||T,)(其它TjHr线性时不变系统如果离散时间系统是LTI系统，且其频率响应为H(ejω)，则)()()(jjjeXeHeY这样，整个连续时间信号的离散时间处理频域可以表示为：kcTjrrTkjjXTeHjHjY)2(1)()()(由于T||,0T||),()2(1)(jXTkjjXTjHckcr由于则可写作：)()()(jXjHjYceffr其中T||,0T||),()(TjeffeHjHHeff(jΩ)称为整个连续时间系统的有效频率。图离散时间系统D/CC/DTTx[n]y[n]yr(t)xc(t)线性时不变连续时间系统Heff(jΩ)xc(t)yr(t)4.6利用离散时间处理改变采样率•采样率按整数因子减小对一个序列“采样”可以降低一个序列的采样率，即：)(][][nMTxnMxnxcdMx[n]xd[n]=x[nM]新的采样周期为T’=MT采样周期增大为M倍，意味着采样频率降低到了1/M，则原采样率至少应当是M倍的奈奎斯特率，才能使得此时的信号不发生混叠失真。减小采样率的过程称为减采样（downsampling）。减采样的频域表示采样过程的频域表示为：kcjTkjTjXTeX)2(1)(类似地，对于T’=MT,xd[n]=x[nM]=xc(nT’)的频域表示为：rcjdTrjTjXTeX)'2'('1)(将T’=MT代入上式，得：rcjdMTrjMTjXMTeX)2(1)(可将r写作：r=i+kM，其中-∞k∞，0≤i≤M-1,则可将式(4.74)改写成：4.7410))]22((1[1)(MikcjdMTiTkMTjXTMeX由于)())22((1))22((1/)2(MijkckceXTkMTijXTMTiTkMTjXT所以10/2/)(1)(MiMijMjjdeXMeX4.724.78减采样频域表示的几个要点•减采样频谱是无限长的周期函数。这是由于虽然它可以表示为有限个离散时间信号x[n]的傅立叶变换X(ejω)移位组合，但X(ejω)本身是无限长的周期函数。这由式(4.74)可以看得更加清楚，其中Xd(ejω)是由无数个连续时间信号xc(t)的傅立叶变换Xc(jΩ)以2π/MT移位组合而成。•减采样信号实质上就是一种降低了采样率的离散时间信号，因此离散时间信号频谱性质同样适用于减采样信号，其周期仍为2π，且其高低频分布也与离散时间信号一致。•减采样信号要避免混叠现象，同样应该符合采样定理，其奈奎斯特频率为π/T’=π/MT。X(ejω)与X(ej(ω/M))Xc(jΩ)ΩΩN-ΩN1X(ejω)ωωN=ΩNT-ωN1/T2π4π-2π-4πX(ej(ω/M))ωω’N=ΩNT’=MΩNT-ω’N1/T2π2Mπ-2π-2MπM=2X(ej(ω/M))与Xd(ejω)X(ej((ω-2π)/2)/2ω1/2T2π2Mπ-2π-2MπX(ej(ω/2))/2ωω’N=ΩNT’=MΩNT-ω’N1/2T2π2Mπ-2π-2MπM=2+Xd(ejω)ω1/2T2π2Mπ-2π-2Mπ预滤波由于减采样会造成采样率的下降，为了满足采样定理对采样率的要求，一般会在减采样之前加一个低通滤波器，对原信号进行一次预滤波，将其带限至π/T’以下。低通滤波器增益=1截止频率=π/MM][nx][~nx][~][~nMxnxd采样周期T采样周期T采样周期T’=MT•采样率按整数因子增加已知减采样过程是将信号的采样周期整数倍增加到MT，那么相应地，增采样过程（Upsampling）将采样周期减少到T’=T/L，以增加采样率。即：xi[n]=x[n/L]=xc(nT/L),n=0,±L,±2L,…4.83增采样过程框图如下：低通滤波器增益=L截止频率=π/LL][nx][nxe][nxi采样周期T采样周期T’=T/L采样周期T’=T/L整个系统由一个扩展器加上一个低通滤波器构成。扩展器扩展器的输出为：,,0,...2,,0],/[][otherwiseLLnLnxnxekekLnkxnx][][][或者写成：其傅立叶变换)(][)][][()(LjkLkjnjnkjeeXekxekLnkxeXX(ejω)与Xe(ejω)Xc(jΩ)ΩΩN-ΩN1X(ejω)ωωN=ΩNT-ωN1/T2π4π-2π-4πX(ejω)ωωN/L-ωN/L1/T2π4π