专接本-高数第一章-函数-极限-连续

26第一篇高等数学第一章函数极限连续第一节函数一、基本知识1．函数的概念（1）定义设数集RD，则称映射RDf:为定义在D上的函数，通常简记为Dxxfy),(其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作fD,即DDf．函数定义中，对于每一个Dx．按照对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作)(xf，即)(xfy．因变量y与自变量x的这种依赖关系，通常称为函数关系．函数值)(xf的全体构成集合称为函数f的值域，记作fR或)(Df，即DxxfyyDfRf),()(．（2）函数的常用表示法①公式法：如12xy等，②表格法：如三角函数表、对数表等，③图示法：如温度记录仪记录的某地某天的温度曲线；医学上常用的心电图等．（3）分段函数定义域内由两个或两个以上数学表达式分段表示的函数叫做分段函数．函数关系)(xfy不一定是由一个或几个数学表达式所构成，可能是由普通语言描述的，也可能是一幅图或一张表．总之，函数关系的实质是自变量与因变量之间的“对应关系”，而与表达形式无关，对于分段函数，无论它分多少段，它总是一个函数，不是几个函数．两个函数相同它们的对应关系相同、定义域相同．如2lnxy与xyln2不相同．2．函数的简单性质（1）定义域自变量的取值范围，每个函数都有其定义域，定义域不同，即使定义法则一样，两个函数也不是相等的．如一些基本初等函数，观察其定义域根式xy，分式xy1，三角函数xysin，反三角函数xyarcsin，指数函数xey，对数函数xyln，幂函数uxy，幂指函数xxy（注意：00无意义）（2）值域27因变量的取值范围,它由函数定义域和定义法则同时决定．（3）有界性设函数)(xf的定义域为D，数集DX如果存在数1K，使得1)(Kxf对任一Xx都成立，则称函数)(xf在X上有上界，而1K称为函数)(xf在X的一个上界；如果存在数2K使得2)(Kxf对任一Xx都成立，则称函数)(xf在X上有下界，而2K称为函数)(xf在X上的一个下界．即：12)(KxfK如果存在正数M，使得Mxf)(对任一Xx都成立，则称函数)(xf在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数)(xf在X上无界；这就是说，如果对于任何正数M总存在Xx1，使Mxf)(1，那么就称函数)(xf在X上无界．①有界性与区间I有关，如xy1在2,1上有界，但在1,0上无界．②若函数)(xf在I上有一个界M，则比M大的数都可以作为它的界，即界不唯一．③在现阶段我们将会学到三个有界函数，在定义域是),(情况下，分别是xyxyxyarctan,cos,sin．④在极限计算中，当有界函数与其他函数相乘时，我们接触到的一般都是“有界函数乘无穷小等于零”．（4）单调性设函数)(xf的定义域为D，区间DI，如果对于区间I上任意两点21,xx，当21xx，恒有)()(21xfxf，则称)(xf在区间I上是单调增加；如果对于区间I上任意两点21,xx，当21xx，恒有)()(21xfxf，则称)(xf在I上是单调减少，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．（关于函数的单调性问题，将在“导数的应用”中讨论．）（5）奇偶性设函数)(xf的定义域D关于坐标原点对称．如果对任一Dx，)()(xfxf恒成立，则28称)(xf为偶函数；如果对任一Dx，)()(xfxf恒成立，则称)(xf为奇函数．函数奇偶性判断方法：①根据奇偶性定义：如证得)()(xfxf，那么此函数为偶函数，如证得)()(xfxf，那么此函数为奇函数．②根据四则运算：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，奇＋偶＝非奇非偶．奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．③指数运算用除法：奇偶1,1)()(xfxf，举例：1212)(xxxf运用1)()(xfxf,得)(xf为奇函数．④对数运算用加法：偶奇)(2,0)()(xfxfxf，举例)1ln()(2xxxf运用0)()(xfxf,得)(xf为奇函数．注意：A奇函数的图形关于原点对称；偶函数的图形关于y轴对称，B奇、偶函数的运算性质：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；奇函数与偶函数之积是奇函数，C函数奇偶性的判定依据：1．定义；2．常见的奇、偶函数及奇、偶函数的运算性质等．如xyxyxyarctan,sin,3等是奇函数；而xyxycos,2是偶函数．（特别要说的是，0是既奇又偶的函数）（6）周期性设函数)(xf的定义域为D．如果存在一个正数，使得对于任一Dx有Dlx)(，且)()(xflxf恒成立，则称)(xf为周期函数．l为)(xf的周期，通常我们说的周期函数的周期是指最小正周期．这里我们总结一个正弦函数的周期公式：)sin(lwxBAyA表示的是上下移动，B表示的是振幅，l表示的水平移动．，w与三角函数周期有关wT2．一般的，对周期函数进行有限次的四则运算仍就是周期函数；公式中常量变成变量的均不是周期函数．周期函数在每一个周期上的图形是相同的．例如：xyxyxyxy42cos,1sin,sin,cos1是周期函数．xyxxyxxyxy1sin,cos,cos,sin2不是周期函数．293．反函数设函数)(:DfDf是单射，则它存在映射DDff)(:1，称此映射1f为函数f的反函数．例如：xy2与2yx互为反函数；xay与xyalog互为反函数．4．基本初等函数（l）幂函数xy，（为常数）幂函数xy的定义域需要根据的值来定．如2xy在整个实轴R上有定义，而xy仅在,0上有定义．但无论为什么数，在0x上总是有定义的．最常见的几个幂函数的图形如图1-1所示．（2）指数函数xay（常数1,0aa）指数函数xay的定义域为R，值域为),0(．当10a时，指数函数xay是单调减少的；当1a时，指数函数xay是单调增加的．它的图形都经过点)1,0(．见图1-2．（3）对数函数xyalog（常数1,0aa）对数函数xyalog是指数函数xay的反函数．它的定义域为),0(，值域为R．当10a时，xyalog是单调减少的；当1a时，xyalog是单调增加的，它的图形都经过30点)0,1(见图1-3．当底数为...590457182818284.2e时，简记为xyln．即xxelnlog．（4）三角函数．正弦函数xysin，定义域为R．值域为1,1，它是奇函数，以2为周期的周期函数．图形见1-4．余弦函数xycos，定义域为R，值域为1,1，它是偶函数，以2为周期的周期函数．图形见图1-5．正切函数xxxycossintan，定义域为,...)2,1,0)(2,2(kkk，值域为R．它是奇函数，以为周期的周期函数．图形见图1-6．余切函数xxxysincoscot，定义域为,...)2,1,0)(,2(kkk，它是奇函数，以为周期的周期函数．图形见图1-7．（数一二）正割函数xxycos1sec，定义域为,...)2,1,0)(2,2(kkk．它是偶函数，以2为周期的周期函数．图形（略）．（数一二）余割函数xxysin1csc，定义域为,...)2,1,0)(,(kkk．它是奇函数，以2为周期的周期函数．图形（略）（5）（数一二）反三角函数三角函数的反函数称为反三角函数．由于三角函数在定义域内不单调，所以它的反函数为多值函数，为避免多值性，特限制其值域，仍简称为反三角函数，图形见图1-8．反正弦函数xyarcsin，定义域1,1，值域2,2，是单增函数，且是奇函数．反余弦函数xyarccos，定义域为1,1，值域为,0，是单减函数．31反正切函数xyarctan，定义域为R，值域为)2,2(，是单增函数，且是奇函数．反余切函数xarcycot，定义域为R，值域为),0(，是单减函数．5．复合函数与初等函数（1）复合函数设函数)(ufy的定义域为G，函数)(uu的定义域为D，值城为W，如果W的一部分或全部包含在G内，则由)(ufy及)(xu定义了一个函数，称为复合函数，记作))((xfy，称u为中间变量，x为自变量．依上述定义，在一定条件下)(ufy，)(vu，)(xv也可构成一个复合函数)))(((xfy．（2）初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．一般而言，分段函数不是初等函数，但如：0,0,)(xxxxxxf这样的仍是一个初等函数，因为其定义法则是相同的．基本初等函数在其定义域内是连续的，初等函数在其定义区间内是连续的．．二、例题分析例1．1求下列函数的定义域．（1）43)(xxf（2）xxf11ln)(（3）xxf21arcsin)(（4）314arccos)(xxf（5）)arcsin(lg)(xxf（6）)ln(ln)(xxf解由分析式子表示的函数的定义域是使该式子有意义的所有实数构成的集合．如分式的分母不能为零；对数的真数必须大于零；开偶次方根的数必须大于等于零；反三角函数则遵循32对该函数所规定的定义域；求复合函数))((xfy的定义域时，既要使)(x有意义，又要使))((xf有意义，即要根据)(uf和)(x共同确定其定义域．（l）要使43xy有意义，只要043x即可，即34x，因此它的定义域为,34．（2）由10101011xxxx．即它的定义域为)1,(．（3）由121x及0x得，2112xx，即它的定义域为),21[]21,(．（4）由1314x得121314xx．即它的定义域为1,21．（5）由1lgx得101.0x．所以它的定义域为10,1.0．（6）由0lnx得，1x．即定义域为),1(．例1．2（1）设)(xf的定义域为4,4，求)(2xf的定义域．（2）设)(xf的定义域为1,0求)1(xf的定义城．解（1）由442x得，22x．即定义城为2,2．（2）由110x得，01x．即定义域为0,1，即定义域向左平移了一个单位．例1．3下列各对函数哪些是同一函数？（1）2xx与（2）2）与（xx（3）2ln2lnxx与（4）1112xxx与解两个函数相同，必须是定义域相同且对应关系一致．只有（1）中的两个函数才是相同的，其余各对均不是相同的函数．这是因为：（1）两个函数的定义域都是R，对应关系也完全相同，即2xx．（2）定义域不同．xy的定义域为R，2)(xy2的定义域为,0．（3）定义域不同．2lnxy的定义域为,00,，y=2lnx的定义域为,0．（4）定义域不同．1xy的定义域为R，112xxy的定义域为1,xRxx．例1．4已知xxxf11)(，求))((xff及其定义域，33解xxxxxxff111111))((，定义域为.1,xRxx．例1．5设2cos)(sin2xxfy，求)(xf．解因为xxxf22sin32sin1)(sin，所以23)(xxf．例1．6讨论下列函数的奇偶性．（1）xxxfsin)(（2）1)(2xxxf（3）1)(xxf（4）)11ln()(xxxf解（1）因为)(sin)sin()(xfxxx