《习题课-单调性与奇偶性的综合应用》函数的概念与性质-图文

-1-习题课单调性与奇偶性的综合应用函数的概念与性质首页课标阐释思维脉络1.理解函数奇偶性与单调性的关系.2.能运用函数的单调性与奇偶性等解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.课前篇自主预习奇、偶函数在对称区间上的单调性1.(1)已知函数y=f(x)在R上是奇函数,且在(0,+∞)是增函数.那么y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调性如何?提示:奇函数的图象关于坐标原点对称,所以在两个对称的区间上单调性相同.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.(2)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是奇函数,∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),∴-f(x1)-f(x2),∴f(x1)f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.课前篇自主预习(3)已知函数y=f(x)在R上是偶函数,且在(0,+∞)是减函数,y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上是增函数还是减函数?提示:偶函数的图象关于y轴对称,所以在两个对称的区间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调递增.(4)你能用函数单调性的定义证明上面的结论吗?提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,则-x1-x20,∵y=f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x1)f(-x2).∵y=f(x)在R上是偶函数,∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),∴f(x1)f(x2).∴函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数.课前篇自主预习课前篇自主预习3.做一做(1)若奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,则它在[2,6]上是()A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最大值是-1D.减函数且最小值是-1解析:∵奇函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,且最小值是1,∴函数f(x)在[2,6]上是减函数且最大值是-1.答案:C(2)若偶函数f(x)在(-∞,0]上是增函数,则f(-5),f(),f(-2),f(4)的大小关系为.3解析:因为f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因为3245,所以f(5)f(4)f(2)f(3).故f(-5)f(4)f(-2)f(3).答案:f(-5)f(4)f(-2)f(3)课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小例1已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)f(-3)f(-2)B.f(π)f(-2)f(-3)C.f(π)f(-3)f(-2)D.f(π)f(-2)f(-3)解析:∵f(x)在R上是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵23π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,∴f(2)f(3)f(π),∴f(-2)f(-3)f(π).故选A.答案:A随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析反思感悟应用函数的单调性与奇偶性判断函数值的大小时,先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析延伸探究(1)若将本例中的“增函数”改为“减函数”,其他条件不变,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系如何?(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,比较这三个数的大小.解:(1)因为当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,所以有f(2)f(3)f(π).又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f(π).(2)因为函数为定义在R上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以函数在R上是增函数,因为-3-2π,所以f(-3)f(-2)f(π).随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析应用函数的单调性与奇偶性解函数不等式例2已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上是减函数,所以f(x)在[-2,2]上为减函数.又f(1-m)f(m),所以-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,1-𝑚𝑚,即-1≤𝑚≤3,-2≤𝑚≤2,𝑚12.解得-1≤m12.故实数m的取值范围是-1≤m12.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析反思感悟解有关奇函数f(x)的不等式f(a)+f(b)0,先将f(a)+f(b)0变形为f(a)-f(b)=f(-b),再利用f(x)的单调性去掉“f”,化为关于a,b的不等式.另外,要特别注意函数的定义域.由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反,所以我们要利用偶函数的性质f(x)=f(|x|)=f(-|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内,再利用单调性去掉符号f,使不等式得解.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析延伸探究若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”,把区间“[0,2]”改为“[-2,0]”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解:因为函数为[-2,2]上的偶函数,又函数在[-2,0]上是减函数,所以函数在[0,2]上是增函数,不等式可化为f(|1-m|)f(|m|),故可得-2≤1-𝑚≤2,-2≤𝑚≤2,|1-𝑚||𝑚|,即-1≤𝑚≤3,-2≤𝑚≤2,𝑚12,解得12m≤2.故实数m的取值范围为12,2.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练判断抽象函数的奇偶性典例已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证:函数f(x)为奇函数.证明:由题意可知,函数的定义域为R,关于原点对称.令a=0,则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.反思感悟判断抽象函数的奇偶性主要是利用赋值法,并结合已知条件寻找f(-x)与f(x)的关系,从而得出结论.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练变式训练已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:函数f(x)为偶函数.证明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练1.若f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(4)f(1),则下列各式一定成立的是()A.f(0)f(6)B.f(4)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(4)解析:∵f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(4)f(1),f(4)f(-1).答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练2.若f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则()A.f-32f(-1)f(2)B.f(-1)f-32f(2)C.f(2)f(-1)f-32D.f(2)f-32f(-1)解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),∵-2-32-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函数,∴f(-2)f-32f(-1).故选D.答案:D课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练3.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有解析:由已知条件可知f(x)在[0,+∞)上是减函数,所以f(3)f(2)f(1).再由偶函数的性质得f(3)f(-2)f(1).答案:f(3)f(-2)f(1)𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥20,则f(3),f(-2),f(1)按从小到大的顺序排列为.课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练4.定义在R上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)是减函数,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是.解析:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)是减函数,∴不等式f(1-m)f(m)等价为f(|1-m|)f(|m|),即|1-m||m|,平方得1-2m+m2m2,即2m1,得m12,即实数m的取值范围是-∞,12.答案:-∞,12课堂篇探究学习探究一探究二思维辨析随堂演练5.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:∵f(3a-10)+f(4-2a)0,∴f(3a-10)-f(4-2a),∵f(x)为奇函数,∴-f(4-2a)=f(2a-4),∴f(3a-10)f(2a-4).又f(x)在R上是减函数,∴3a-102a-4,∴a6.故a的取值范围为(6,+∞).，又何必对未知的前方魂牵梦萦？生活中，其实我们每个人都有目标，并且我们的奋斗，都是为了能离它更近。奋斗努力，快步走行，无可厚非，但是我想，人生在路上行走，本应该走走停停，该歇的则歇一歇，该停的则停一停，在生活一直往前走的同时，适时的放慢脚步，看看你的身边，看看你的周围，欣赏一下沿途的美丽风景，也许里面就有会你想要的东西。不要为了追求物质财富，不要忙于到达目的地，只顾疲于奔跑，而错过了身边美丽的风景，不要让你已拥有的很多东西在手中悄悄的流失，失去对它的珍惜，更不要怨天怨地怨人怨己，抱怨自己的人生磕磕绊绊，不如人意。要知道很多时候，当在你盲目地追求着你的目标后，当你在怨天怨地怨人怨己时，回过头来看时，可能会发现：许多的美丽和幸福，原来就在你路途的景色里！人的生命总是有限的，时间也不能停滞，但是我们可以驻足。人生路上，一路行走，一路都是风景，路上，你会遇到很多美的人，美的事，美的景。不要忘了经常抬头凝视一会儿蔚蓝的天空和飞翔的鸟儿；不要忘了去看一看路边盛开的花朵，嗅嗅花儿散发出的香气。在人生的风景里有春夏秋冬，会有不同景致，春葱茏、夏繁盛、秋斑斓、冬纯净，都显得很美丽，你大凡可尽收眼底。只不过人生的风景画册里，有的柔和，有的热烈，有的凄美，还有的悲壮，只要你放慢脚步，多看看沿途的风景，多收藏些快乐的心情，人生就会轻松很多。也许在你放松心境的时候，你就能看见生活的笑容。不同的人生体验，才能让人生多彩丰富。如果太在意目的地，这一路上，心中便会少了很多乐趣。在人生的旅行中，最重要的不是结果，而是过程，也不是他经历了什么，而是他以何种心态去面对生活。为了在旅途结束时不留下丝毫的遗憾，请把握好旅程中的每一分钟。一路上慢慢地走，别忘了欣赏沿途的风景。作者简介：谈笑在指尖原名：张波文章，诗歌多见于省内外报刊和网络平台。喜欢把日子中的点点滴滴写进文字里，抒写心中之梦，始终保持着乐观心态，过好每一天。滴写进文字里，雀巢冰泣淋裡的一种，外面是薄薄的一层巧克，裡面是甜甜的奶油的一个心形的冰棍我要用它来纪念他们的爱情。辉和莉是在网络上认识的，莉比辉大5岁。2000年初秋的一天，他们相识了，以后的日子，他们相知了，彼此以姐弟相称。第一次他给她写信是在圣诞节，当时仅仅是一声祝福，是一张贺卡后来，他爱上了她，一个让辉用三生三世都不能忘记的女人。2001年的2月10日，值得纪念的日子，辉告诉了莉他心裡的想法！因為莉是从艰辛中一路走来身心疲惫的人，深知道爱就要付出什麼，她没有给辉任