高考数学复习专题-三角函数和解三角形(经典教案)

1三角函数和解三角形【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.第1课三角函数的概念【考点导读】1．理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合任意角的概念角度制与弧度制任意角的三角函数弧长与扇形面积公式三角函数的图象和性质和角公式差角公式几个三角恒等式倍角公式同角三角函数关系诱导公式正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值与证明2ZkkS,360；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式rl及扇形的面积公式S＝lr21（l为弧长）解决问题.2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)Pxy（不同于坐标原点），设OPr（220rxy），则的三个三角函数值定义为：sin,cos,tanyxyrrx．从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为{|,,}2RkkZ．3．掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6、4、3、2的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.4．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．基础自测1．885化成2(02,)kkZ的形式是．2．已知为第三象限角，则2所在的象限是．3．已知角的终边过点(5,12)P，则cos=，tan=．4．tan(3)sin5cos8的符号为．5．已知角的终边上一点(,1)Pa（0a），且atan，求sin，cos的值．【范例解析】例1.（1）已知角的终边经过一点(4,3)(0)Paaa，求2sincos的值；（2）已知角的终边在一条直线3yx上，求sin，tan的值．例2.（1）若sincos0，则在第_____________象限．3（2）若角是第二象限角，则sin2，cos2，sin2，cos2，tan2中能确定是正值的有____个．例3.一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．作业1．若sincos且sincos0则在第_______象限．2．已知6，则点(sin,tan)A在第________象限．3．已知角是第二象限，且(,5)Pm为其终边上一点，若2cos4m，则m的值为_______．4．将时钟的分针拨快30min，则时针转过的弧度为．5．若46，且与23终边相同，则=．6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm，当扇形的中心角(0)为多少弧度时，该扇形周长最小．第2课同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．【基础练习】1.tan600°=______．42.已知是第四象限角，5tan12，则sin______．3.已知3cos22，且2，则tan＝______．4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=_____．【范例解析】例1.已知8cos()17，求sin(5)，tan(3)的值．例2.已知是三角形的内角，若1sincos5，求tan的值．作业1．已知5sin5,则44sincos的值为_____．2．“21sinA”是“A=30º”的_____________条件．3．设02x,且1sin2sincosxxx，则x的取值范围是__________4．已知1sincos5，且324≤≤，则cos2的值是．5．（1）已知1cos3，且02，求2cos()3sin()4cos()sin(2)的值．（2）已知1sin()64x，求25sin()sin()63xx的值．6．已知4tan3，求5（I）6sincos3sin2cos的值；（II）212sincoscos的值．第3课两角和与差及倍角公式（一）【考点导读】1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．【基础练习】1.sin163sin223sin253sin313___________．2.化简2cos6sinxx_____________．3.若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________．4.化简：sinsin21coscos2___________．【范例解析】例.化简：（1）42212cos2cos22tan()sin()44xxxx；（2）(1sincos)(sincos)22(0)22cos．作业61．化简22sin2cos1cos2cos2________________．2．若sintan0xx，化简1cos2x_________．3．若0＜α＜β＜4，sinα＋cosα=α，sinβ＋cosβ=b，则a与b的大小关系是_________．4．若sincostan(0)2，则的取值范围是___________．5．已知、均为锐角，且cos()sin()，则tan=.6．化简：222cos12tan()sin()44．7．求证：222sin22coscos22cosxxxx．8．化简：22sinsin2sinsincos()．第4课两角和与差及倍角公式（二）【考点导读】1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角”．【基础练习】1．写出下列各式的值：（1）2sin15cos15_________；（2）22cos15sin15_________；（3）22sin151_________；（4）22sin15cos15_________．72．已知3(,),sin,25则tan()4=_________．3．求值：（1）1tan151tan15_______；（2）5coscos1212_________．4．求值：tan10tan203(tan10tan20)________．5．已知tan32，则cos________．6．若cos22π2sin4，则cossin_________．【范例解析】例1.求值：（1）sin40(tan103)；（2）2sin50sin80(13tan10)1cos10．例2.设4cos()5，12cos()13，且(,)2，3(,2)2，求cos2，cos2．例3.若3cos()45x，177124x，求2sin22sin1tanxxx的值．作业1281．设)2,0(，若3sin5，则)4cos(2=__________．2．已知tan2=2，则tanα的值为_______，tan()4的值为___________．3．若316sin，则232cos=___________．4．若13cos(),cos()55，则tantan．5．求值：11sin20tan40_________．6．已知232,534cos．求42cos的值奎屯王新敞新疆第5课三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]，正切函数在(,)22上的性质；2.了解函数sin()yAx的实际意义，能画出sin()yAx的图像；3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】1.已知简谐运动()2sin()()32fxx的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T_________；初相__________．2.三角方程2sin(2－x)=1的解集为_______________________．3.函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．43第3题94.要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1.已知函数()2sin(sincos)fxxxx．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin(sincos)fxxxx的图像可由sinyx的图像经过怎样变换而得到．例2.已知正弦函数sin()yAx(0,0)A的图像如图所示．（1）求此函数的解析式1()fx；（2）求与1()fx图像关于直线8x对称的曲线的解析式2()fx；（3）作出函数12()()yfxfx的图像的简图．作业1．为了得到函数Rxxy),63sin(