北师版数学七年级上册一元一次方程经典例题

第三章一元一次方程教学重点：1、一元一次方程和方程的解的概念；2、理解和应用等式的性质；3、找相等关系列一元一次方程，用合并、移项解一元一次方程；4、去括号法则在解方程中的熟练应用；5、利用“去分母”将方程作变形处理；6、建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=c”类型的一元一次方程。7、将实际问题抽象为方程，列方程解应用题。精例精析例1、判断下列各式中，哪些是方程？哪些是一元一次方程？(1)1+2=3；(2)1113x；(3)1522xx=0；(4)R2；(5)0x；（6）623yx分析：判断一个式子是不是方程，第一要看是不是含有未知数；第二要看是不是等式；判断方程是不是一元一次方程，第一要看是不是只含有一个字母（看作未知数）；第二要看，未知数的次数是不是都为1.解：方程：(2)1113x；(3)1522xx=0；(5)0x；（6）623yx一元一次方程：(2)1113x；(5)0x【小结】：在运用定义进行判断时，通常可从正反两个方面着手：完全符合条件的，必属所定义类别；只要有一个条件不符合，必不属于所定例2、已知2(3)(3)70kxkx是关于x的一元一次方程，求k的值.分析：本题的解题关键是紧扣一元一次方程系数和指数的限制，建立相应全面的数量关系.解：由题意可知该方程是一元一次方程，所以二次项的系数必须为0，即30k，3k;而一次项系数30k，则3k，综合以上，3k【小结】：正确识别一元一次方程应注意以下几点：（1）只含有一个未知数：（2）未知数的次数是1（若次数不是1的项，其系数必须为0）；（3）未知数的系数不为0.例3、解下列一元一次方程：（1）4129xx（2）8143yy分析：将方程中含有未知数的项移到左边，把常数项移到右边，通过合并，把系数化为1就可以求出方程的解.解：（1）9214xx移项，得：1924xx合并同类项，得：82x系数化为1，得：4x（2）8143yy移项，得：8143yy合并同类项，得：553y系数化为1，得：3y【小结】：（1）合并同类项：合并是指根据分配律，把含x的几项合并成一个式子.如：24(12 4)xxxxx（2）移项：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则，利用移项求出方程解的方法叫做移项法.移项的根据是等式的性质.例4、解方程(1)3(2)1(21)xxx；(2)23[4(12)5]10yyy.分析：与前面学过的方程相比，本题多了括号，只要能去掉括号，就转化为已经学过的问题了；含有多重括号的方程，在解题过程中应按照由内到外（或由外到内）的顺序依次去括号.解：（1）去括号，得：36121xxx移项，得：32116xxx合并同类项，得：64x系数化为1，得：32x（2）去中括号，得：2312(12)1510yyy去小括号，得：2312241510yyy移项，得：2324101215yyy合并同类项，得：2517y系数化为1，得：1725y【小结】：去括号法则：括号外的因数是正数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反；有多重括号时，要按照由内到外（或由外到内）的顺序依次去括号.例5、解方程（1）1524213xx；（2）6.15.032.04xx分析：与前面学过的方程相比，本题多了分母，如果能去掉分母就可以转化为整式方程；方程中含有小数，特别是分母含有小数，计算起来比较麻烦。解这类方程时，先利用分数的性质把分子、分母同时扩大相同的倍数.解：（1）去分母，得：10)24(2)13(5xx去括号，得：1048515xx移项，得：5104815xx合并同类项，得：17x系数化为1，得：71x（2）利用分数基本性质去掉分母中的小数，得：6.15)3(102)4(10xx去分母，得：16)3(20)4(50xx去括号，得：16602020050xx移项，得：60200162050xx合并同类项，得：24430x系数化为1，得：15122x【小结】：去分母的方法：对于含有分数系数的方程，可以运用等式的性质2，在方程的两边同乘以所有分母的最小公倍数，将方程化为整系数的方程.这种化简的方法叫做去分母.例6、解方程（1）53221xxx；（2）2.125.125.01xx分析：与前面学过的方程相比，本题多了分母，如果能去掉分母就可以转化为整式方程；方程中含有小数，特别是分母含有小数，计算起来比较麻烦.解这类方程时，先利用分数的性质把分子、分母同时扩大相同的倍数.解：（1）去分母，得：10x－5（x－1）=20－2(x－3)去括号，得：10x－5x+5=20－2x+6移项，得：10x－5x+2x=20+6－5合并同类项，得：7x=21系数化为1，得：x=3（2）利用分数基本性质去掉分母中的小数，得：2.1125100251x100x）（去分母，得：4（x－1）－0.8x=1.2去括号，得：4x－4－0.8x=1.2移项，得：4x－0.8x=1.2+4合并同类项，得：3.2x=5.2系数化为1，得：x=813【小结】：（1）在解方程时，应注意观察方程的特点，根据方程的特点，灵活把握求解的方法步骤；（2）求解过程中的步骤并不是固定不变的；（3）通过解方程体验转化思想.例7、学校新进一批教学设备，共由若干个小箱组成，让七（1）班的学生去运，若每人8箱，还余36箱；若每人10箱，还缺少44箱.问这批设备共有多少箱？这个班有多少人？分析：若设这批设备为未知数，那么相等关系是“表示七（1）班多少人的两个不相同的式子”；同样可以设七（1）班的人数为未知数。解：设七（1）班有x名学生，则这批设备可以表示为箱(836)x或(1044)x箱，根据题意列方程，得：4410368xx移项，得：3644108xx合并同类项，得：802x系数化为1，得：40x，那么356368x答：这批设备有356箱，这个班有40人.【小结】：列一元一次方程解实际问题找等量关系是关键，注意抓住基本等量关系：表示同一个量的两个不同的式子相等。例8、根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km,求提速后的火车速度.(精确到1km/h)解：设提速后的火车速度是xkm/h，根据题意，得：2.3(x－260)=0.6x,解得x=352.答：提速后的火车速度是352km/h.1、总结：解较简单的一元一次方程的步骤：①移项：将常数项放在等号的右边，未知数的项放在等号的左边；②合并：将同类项进行合并，一般要逆用分配律；③系数化为1：用等式的性质2，化成xa的形式.2、列方程解应用题的一般步骤：（1）设恰当的未知数x，并用x表示相关的量；（2）根据相等关系列一元一次方程；（3）解一元一次方程；（4）作答.3、去括号解方程时，一是：要注意不要漏乘项，二是：当括号外的因数是负数时，要注意去掉括号后的各项都要变号．例题变招例9、已知方程1115()420092x，求整式1320()2009x的值.分析：如果按照解含分母的一元一次方程的一般步骤，最小公分母就会比较大，给我们计算带来麻烦，再观察已知方程和要求整式，方程中含有12009x，整式中含有12009x，它们只相差个负号.解：由1115()420092x，得：115()20094x，即：115()20094x原整式=134()3124【小结】：对于解分母比较大的方程，应该首先观察方程的结构特征，然后运用技巧根据特征可以简化计算.例10、已知关于x的方程3x2()43axx和3151128xax有相同的解，求这个相同的解.解：甲的研究先用a分别表示两个方程的解，再求出a，从而解出x.由xax4)3(2x3得：7x=2a，①∴x=a72.由1851123xax得：21x=27－2a,②∴x=212-27a.∵两个方程的解相同，∴a72=212-27a，a=827.∴相同的解为x=a72=72×827=2827.乙的探究①×3，得：21x=6a.③由②③知，27-2a=6a,∴a=827.∴x=a72=72×827=2827.丙的探究由①得：a=x27，∴185112273xxx，解得：x=2827.【小结】：解答此类题目首先要用含有字母的式子表示方程的解，然后根据特征计算出结果；本题采用了三种方法求出了x的值，请同学们比较一下哪种方法简单。中考直通车例11、去年秋季以来，我市某镇遭受百年一遇的特大干旱，为支援该镇抗旱，上级下拨专项抗旱资金80万元用于打井．已知用这80万元打灌溉用井和生活用井共58口，每口灌溉用井和生活用井分别需要资金4万元和0.2万元，求这两种井各打多少口？解：设灌溉用井打x口，生活用井打58－x口，由题意得：4x+0.2(58－x)=80解得：x=18那么58－x=40答：灌溉用井打18口，生活用井打40口．【小结】：找等量关系是关键，注意抓住基本等量关系：总量＝各部分量的和。例12、在长为10m,宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．解：设小矩形的长为xm，由题意得：10－x=8－（10－2x）解得：x=4那么10－2x=2答：小矩形花圃的长和宽分别为4m,2m.四、归纳小结1、解一元一次方程的一般步骤：①去分母，注意方程中所有项都乘以最小公倍数.②去括号，注意括号前的数和符号一起与括号内每项相乘.③移项，注意移的项变号，未移的项不变.④合并同类项，注意未知项的系数相加作为未知项的系数，常数项合并作常数项.⑤系数化为1，方程两边都除以未知项的系数或都乘以未知项系数的倒数.注意：上述步骤不是一成不变的，要根据方程的特点，灵活处理，如有时可以先合并同类项再移项。2、解决较复杂的一元一次方程问题时，要灵活运用分类思想和整体代换思想。3、知识总结例13、某粮库装粮食，第一个仓库是第二个仓库存粮的3倍，如果从第一个仓库中取出20吨放入第二个仓库中，第二个仓库中的粮食是第一个中的.问每个仓库各有多少粮食？解：设第二个仓库有x吨粮食，则第一个仓库有3x吨粮食，根据题意，得：x+20=75(3x－20)解得：x=30那么3x=90答：第一个仓库有90吨粮食，第二个仓库有30吨粮食.【小结】：在解答应用题时，若题中出现“几倍”、共、多、少、快、慢、提前、超过、增加、相差等含数量关系的句子，应抓住它们进行分析，以使相等关系显现出来.例14、某种商品的标价是650元，打8折销售，仍可获得4%的利润，这种商品的进价是多少？分析：打折是相对标价而言，而利润率是相对于进价而言，本题的等量关系是：售价－进价=利润=进价×利润率.解：设进价为x元，则：650×80%－x=4%x.等式等式的性质方程方程的解一元一次方程和它的解法解方程一元一次方程的应用解得：x=500经检验，符合题意.答：这种商品的进价是500元.【小结】：商品的利润率问题常见数量关系：利润率=-100售价进价进价﹪；利润=售价-进价；注意事项：分清利润与利润率；打几折就是按原价的百分之几十后出售.例15、储户到银行存款，一段时间后，银行要向储户支付存款利息，同时银行还将代扣由储户向国家缴纳的利息税，税率为利息的20%.（1）将8500元钱以一年期的定期储蓄存入银行，年利率为2.2%，到期支取时可得到利息_________元.扣除个人所得税后实得________元；（2）小明的父亲将一笔资