圆的基本概念

AODBCAO圆的基本概念1、定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。3.直径：经过圆心的弦叫直径。注：圆中有无数条直径4圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴;(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性5.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B两点为端点的弧.记作AB,读作“弧AB”.(2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。如弧AD.(3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB(用两个字母).(4)大于半圆的弧叫做优弧,如记作ACB(用三个字母).学习重点:圆及其有关概念学习难点:用集合的观念描述圆【例1】已知：如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点．求证：MC=NC．【例2】由于过渡采伐森林和破坏植被，使我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km的B处，正在向西北方向移动（如图），距沙尘暴中心300km的范围内将受到影响，问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？【随堂针对练习】1．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距离等于半径的点都在．2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是（）A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作（）A．1个B．2个C．3个D．无数个5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15cm，BC=10cm，以A为圆心，12cm为半径作圆，则点C与⊙A的位置关系是．7．⊙O的半径是3cm，P是⊙O内一点，PO=1cm，则点P到⊙O上各点的最小距离是．8．如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/时，那么学样受影响的时间为多少秒？垂径定理及其推论:（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；（2）推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。垂径定理归纳为：一条直线，如果具有：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分例题1、如图3－5，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，若CE＝a，ED=b.求：（1）=的长；（2）AB的长.例题2、如图所示，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若AB=25cm，OC=1cm，则⊙O的半径长为______cm．例题3、（易错题）在直径为50cm的圆中，弦AB为40cm，弦CD为48cm，且AB∥CD，求AB与CD之间距离．解：如图所示，过O作OM⊥AB，∵AB∥CD，∴ON⊥CD．在Rt△BMO中，BO=25cm．由垂径定理得BM=12AB=12×40=20cm，∴OM=22222520OBBM=15cm．同理可求ON=22222524OCCN=7cm，所以MN=OM-ON=15-7=8cm．以上解答有无漏解，漏了什么解，请补上【巩固练习】基础题：1．下列命题中，正确的是（）A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心ABCDE.OC．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧2．下列命题中错误的有（）①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③梯形的对角线互相平分；④圆的对称轴是直径.A．1个B．2个C．3个D．4个3.在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则此弦和所对的弧的中点的距离为()A.10cmB.15mC.40cmD.10cm或40cm4.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，cm6,cm10CDAB，则AC的长为（）A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm5.过⊙O内一点P的最长的弦长为13cm，最短的弦长5cm，则OP=.6.直径是1000mm的圆柱形水管面积如图所示，若水面宽800ABmm，则水的最大深度CD为_______mm.6题图7题图8题图7.如图，是一个水平放置的圆柱形水管的截面，已知水面高22CDcm，水面宽cmAB22．那么水管截面圆的半径是_________cm．8.如图，弦cm24AB，直径ABCD于M，且cm8CM，求⊙O的半径。◆拓展创新8．（应用题）如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．提高题：1．如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦ABCD，OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分D．随C点的移动而移动2.圆的两条平行弦与圆心的距离分别为3和4，则此二平行弦之间的距离为.3.⊙O的直径为15cm.弦AB和CD互相平行，两弦之间的距离为10.5cm，AB=9cm，则CD=.4.如图，矩形ABCD边AB经过⊙O的圆心，E，F分别为AB，CD与⊙O的交点，若cmAE3，cmAD4，cmDF5，则⊙O的径等于__________．6.如图，已知：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CDCE交AB于E，CDDF交AB于F．求证：BFAE．7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD（相交弦定理）ACDBO.8.已知：如图，以O为圆心，120AOB，OD⊥AB,4NDcm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦上，H、G在上，且HEEF4，求HE的长.10.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAEE，CDBF于F.求证：FDEC.◆课后自测1．下列说法正确的有_______．（填序号）①直径是弦;②弦是直径;③半圆是弧，但弧不一定是半圆;④长度相等的两条弧是半圆AOBHENNDMGF2．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9mm，如图所示，则小孔的直径AB为______．3．一个已知O点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为________．4．如图所示⊙O的半径为5，弦AB长为8，点M在线段AB（包括端点A、B）上移动，则OM的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．3≤OM5C．4≤OM≤5D．4≤OM55．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN的长为（）A．2B．4C．6D．86．如图所示，D、E分别是弧AB、AC的中点，DE交AB于M、交AC于N.求证AM=AN．7．（教材变式题）如图所示，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE，∠D的度数．圆心角同步练习例5.如图，已知△ABC内接于⊙O，点A、B、C把⊙O三等分.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)求∠AOB的度数例6.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC于点E,BD=CE．求证：AB=AC.例7.如图，在⊙O中，弦AD//BC,DA=DC,∠AOC=1600，则∠BCO等于()A.200B.300C400D.500例8.如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于点B,A，PC交⊙O于点D,C两点，∠1=∠2，求证：PB=PD.提高训练1.如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A,B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．等分DBD．随C点的移动而移动2.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC．求证：CDBD3.如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN,D为OA的中点，过点D作BC//MN，求证：(1)四边形ABOC为菱形；(2)∠MNB=18∠BAC.4.如图，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD,点M是AC的中点，求证：MB=MD.5.如图,AB,CD是⊙O的两条直径，过点A作AE//CD交⊙O于点E，连结BD,DE.求证：BD=DE.圆周角【知识要点】1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.例1.如图，在⊙O中，弦AB//CD，求证：AC=BD.例2.如图，A,B,C,D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD．求弦AC的长．提高训练1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500，则∠AEC=．2.已知3cm长的一条弦所对的圆周角是1350,那么圆的直径是.3.如图，A,B,C为⊙O上三点，∠BAC=1200，∠ABC=450,M,N分别为BC,AC的中点，则OM:ON的值为4.已知AB是⊙O的直径C,D是⊙O上在AB同旁的两点，且CDDE,AC与BD的延长线相交于点E，线段AE与AB有怎样的关系？请加以证明．5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A,BM平分∠ABC交外接圆于点M,ME//BC交AB于点E．试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.三个定理1．相交弦定理EABDC弦AB、CD交于点E=AE·BE=CE·DE2.切割线定理BADCAD是切线=AD2=DB·DCDBC是割线3.割线定理CABEDEAB是割线=EA·EB=EC·EDECD是割线