第2讲：麦克斯韦方程组的微分形式

6.641MarkusZahn2I.1.1-13Krieger0()limSvSvAdsdivAdvAdsdivAv∆→⋅=⋅=∆∫∫∫6.6412MarkusZahn1/101-14ASdSnKrieger1-15Krieger()()11,,,,xxAxyzdydzAxxyzdydz′Φ=−−∆∫∫6.6412MarkusZahn2/10()()22,,,,yyAxyyzdxdzAxyzdxdz′++∆−∫∫()()33,,,,zzAxyzzdxdyAxyzdxdy′++∆−∫∫()()()(),,,,,,,,yyxxAxyyzAxyzAxyzAxxyzxyzxy⎧⎡⎤+∆−−−∆⎡⎤⎪⎣⎦⎣Φ≈∆∆∆+⎨∆∆⎪⎩⎦()(),,,,zzAxyzzAxyzz⎫+∆−⎡⎤⎪⎣⎦+⎬∆⎪⎭yxzAAAvxyz∂⎡⎤∂∂≈∆++⎢⎥∂∂∂⎣⎦0limySxzvAdsAAAdivAvxy∆→⋅∂∂z∂==+∆∂∂∂∫+∇∂∂∇=++∂∂∂∂yxzAAAdivAAxyz∂∂∂=∇⋅=++∂∂∂2.1-17(a)(b)Krieger6.6412MarkusZahn3/101iiisdsAdsAdsΝ=Ν→∞⋅=⋅∑∫∫()01limii→=∆→=∇∑i∆vAdv=∇⋅∫vsAdvAda∇⋅=⋅∫∫3.()00svvEdadvdvεερ⋅=∇⋅Ε=∫∫∫()0Eερ∇⋅=()000svdadvµµΗ⋅=∇⋅Η=∫∫()00µ∇⋅Η=.1.()csAdsCurlAda⋅=⋅∫∫()0limncndandsCurlda→Α⋅Α=∫6.6412MarkusZahn4/10sCdads∇×Α⋅=Α⋅∫∫CStokes1-19(a)(b)Krieger()()()123,,,yyxxxxyxCxyxxdsxydxxxydyxyydx+∆+∆+∆Α⋅=Α+Α+∆+Α+∆∫∫∫∫6.6412MarkusZahn5/10()4,yyyyxydy+∆+Α∫()()()(),,,,yyxxxxyxyxyxyyxyyx⎡⎤⎡⎤Α+∆−ΑΑ−Α+∆⎡⎤⎣⎦⎣=∆∆+⎢⎥∆∆⎢⎥⎣⎦⎦yxzdaxy∂Α⎡⎤∂Α=−⎢⎥∂∂⎣⎦()yxzzdsCurldaxyΑ⋅∂Α∂ΑΑ==−∂∂∫()xzyydsCurldazxΑ⋅∂Α∂ΑΑ==−∂∂∫()yzxxdsCurldayzΑ⋅∂Α∂ΑΑ==−∂∂∫yyxxzzxyzCurliiiyzzxxy∂Α∂Α⎡⎤⎡⎤∂Α∂∂Α∂Α⎡⎤Α=−+−+−⎢⎥⎢⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣Α⎥⎦detxyzxyziiixyzAAA⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥=⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦=∇×Α6.6412MarkusZahn6/102.1-23LKrieger1limiiNidCCdsdsΝ→∞=Α⋅=Α⋅∑∫∫()()1Niisdada→∞==∇×Α⋅=∇×Α⋅∑∫1-20Krieger6.6412MarkusZahn7/103.()0cssddsdadadtµΕ⋅=∇×Ε⋅=−Η⋅∫∫∫0tµ∂Η∇×Ε=−∂4.0csssdHdsHdaJdaEdadtε⋅=∇×⋅=⋅+⋅∫∫∫∫0EHJtε∂∇×=+∂III.1.()()0lim0ccsvdsdadv→Α⋅==∇×Α⋅=∇⋅∇×Α∫∫∫()0∇⋅∇×Α=2.0Jtε⎧∂∇⋅∇×Η=+⎨⎬Ε⎫∂⎩⎭00Jtε⎡∂=∇⋅+⎢⎥∂⎣⎦Ε⎤0Jtρ∂=∇⋅+∂3.0tµ⎧∂∇⋅∇×Ε=−⎨⎬∂⎩⎭Η⎫()0000tµµ∂=−⎡∇⋅Η⎤⇒∇⋅Η=⎣⎦∂4.()()badlabΕ⋅=Φ−Φ∫6.6412MarkusZahn8/10=()()Ε⋅=Φ−Φ=∫Ε=−∇Φ∇Φ⋅=∫()()∇×∇⋅=∇⋅=⇒∇×∇=∫∫IV.0csddlHdadtµΕ⋅=−⋅∫∫0tµ∂Η∇×Ε=−∂0cssddlJdadadtεΗ⋅=⋅+Ε⋅∫∫∫0Jtε∂Ε∇×Η=+∂0svdadvερΕ⋅=∫∫()0ερ∇⋅Ε=00sdaµΗ⋅=∫()00µ∇⋅Η=1.0cvdJdadvdtρ⋅+=∫∫0Jtρ∂∇⋅+=∂02.0sJdatε⎡∂Ε⎤+⋅⎢⎥∂⎣⎦∫=00Jtε⎡∂Ε⎤∇⋅+=⎢⎥∂⎣⎦EQSMQS0,∇×Ε≈Ε=−∇Φ0tµ∂Η∇×Ε=−∂()20ρε∇⋅Ε=−∇⋅∇Φ=−∇Φ=J∇×Η=()()()()()12222x,y,z0x,y,zdxdydzx,y,z4xxyyzzρπε′′′′′′′′′Φ=⎡⎤′′′−+−+−⎣⎦∫∫∫6.6412MarkusZahn9/10()000µµ∇⋅Η=⇒Η=∇×Α20Jµ∇Α=−A0∇⋅=()()()()()012222x,y,zJx,y,zdxdydzAx,y,z4xxyyzzµπ′′′′′′′′′=⎡⎤′′′−+−+−⎣⎦∫∫∫6.6412MarkusZahn10/10