《经济数学基础》教案4

1[教学目标]1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。5.掌握用消元法求解线性方程组。6.理解线性方程组有解判定定理。了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。[重难点]矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。[教学内容]矩阵一、主要内容：（一）、概念⒈矩阵定义：nmijnmaA)(是一张矩形阵表。（它m行n列，其中ija中i表示第i行，j表示第j列）①、零矩阵：nmnmo)0(②、负矩阵：nmijnmaA)(③、行矩阵和列矩阵：),,(1naa，mbb1④、方阵：nnijnnaA)(⒉特殊矩阵①、单位矩阵：I②、数量矩阵：③、对角矩阵：④、三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵）⑤、对称矩阵：AAT⒊阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵⒋矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。⒌逆矩阵定义：AAIAAAA111,,为互逆矩阵。2（二）、法则⒈矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。⒉矩阵的加减法：nmijijbaBA)(⒊矩阵的数乘：nmijkakA)(⒋矩阵的乘法：ABC矩阵乘法不满足交换律，即ABBA一般不成立（若矩阵A,B满足ABBA，则称A,B为可交换的）．矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵ACBC及矩阵C0，不能推出AB．但当C可逆时，ACBCAB．矩阵AB00,，可能有AB0．⒌方阵的幂：AAAAm（m个相乘）⒍矩阵的转置：mnijTaA)(称为nmijnmaA)(的转置。（三）、方法⒈矩阵的初等行变换⒉初等行变换化矩阵为阶梯形⒊初等行变换求矩阵的秩⒋初等行变换求逆矩阵二、实例分析：例1若A，B是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（）．A．000＝或＝，则＝若BAABB．2222)+(BBAABA＝C．若秩,0)(A秩,0)(B则秩0)(ABD．若秩,)(nA秩,)(nB则秩nAB)(解选项A：00＝或＝BA只是0＝AB的充分条件，而不是必要条件，故A错误；选项B：222)+(BABBAABA＝，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA，故B错误；选项C：由秩,0)(A秩,0)(B说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘积有可能0矩阵，如0011,1010BA，则0000AB．故秩0)(AB不一定成立，即C错误；3选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确．例2设矩阵021A，100112B，则AB＝．解因为AB＝021100112=[41]所以，应该填写：[41]例3矩阵13210011000010001000的秩是()A.1B.2C.3D.4解因为000000010000110012310010000100001100123100010001000011001231对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3．正确选项是：C例4设矩阵A=913210063，801962B则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是．解根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即3×2＋（－1）×9＋9×0＝-3应该填写：-3例5设A是mn矩阵,B是sn矩阵,则运算有意义的是()．A．TABB．ABC．BATD．TTBA解根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵TAB有意义．4正确选项是A．例6设方程XA－B=X，如果A－I可逆，则X=．解由XA－B=X，得XA－X=B，X(A－I)=B故X=B(A－I)－1．所以，应该填写：B(A－I)－1注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成(A－I)－1B，它是错误的．例7．设矩阵1111032311A，求矩阵A．解因为100010001111103231][1IA101340013790001231101340211110001231943100211110632101100113010237001349所以943732311A例8已知矩阵367601012bbaa，求常数a，b．解因为3676010122aabbaabbbaa所以6,3aba，得b=2．例9．设矩阵A，B满足矩阵方程AX＝B，其中0121A，2003B,求X．解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为510010121IA112001212121101001所以2121101A且BAX1200321211012320解法二：因为20010321BA23200321123102001所以12320X例10设矩阵451001413101BA试计算A-1B．解因为100010001001413101][IA101100013110001101100001010411001101所以1011141001A且51344511011141001BA例11设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵．证因为A，B是对称矩阵，即6BBAATT，且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB根据对称矩阵的性质可知，AB＋BA是对称矩阵．例12设A是n阶矩阵，若3A=0，则21)(AAIAI．证因为))((2AAIAI=322AAAAAI=3AI=I所以21)(AAIAI线性方程组一、主要内容：(一)、概念⒈线性方程组的矩阵表示：AX=b)0(0bbAxAx非齐次方程组齐次方程组其中：A—为系数矩阵，[Ab]=A—为增广矩阵⒉阶梯形方程组：⒊简化阶梯形矩阵：（可用于直接读出方程组的解）(二)、方法⒈线性方程组AX=b的解的情况归纳如下：AX=b有唯一解的充分必要条件是秩(A)=秩(A)=n；AX=b有无穷多解的充分必要条件是秩(A)=秩(A)n；AX=b无解的充分必要条件是秩(A)秩(A)．齐次线性方程组AX=0的解的情况为：AX=0只有零解的充分必要条件是秩(A)=n；AX=0有非零解的充分必要条件是秩(A)n．⒉矩阵消元法求线性方程组的一般解步骤：7知量用自由未知量表独立未判断是否有解，写出对应的方程组若有解化简化阶梯形初等行变换化阶梯形写出*101001--bAAA此解称为线性方程组的一般解。二、实例分析：例1线性方程组0223221xxxx的系数矩阵是()．A．2×3矩阵B．3×2矩阵C．3阶矩阵D．2阶矩阵解此线性方程组有两个方程，有三个未知量，故它的系数矩阵是2×3矩阵．正确的选项是A．例2线性方程组AX=B有唯一解，那么AX=0()．A．可能有解B．有无穷多解C．无解D．有唯一解解线性方程组AX=B有唯一解，说明秩,)(nA故AX=0只有唯一解（零解）．正确的选项是D．例3若线性方程组的增广矩阵为41221A，则当＝（）时线性方程组有无穷多解．A．1B．4C．2D．12解将增广矩阵化为阶梯形矩阵，41221A021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021，从而＝12．正确的选项是D．例4若非齐次线性方程组Am×nX=B有唯一解,那么有()．A．秩(A，B)＝nB．秩(A)＝rC．秩(A)＝秩(A，B)D．秩(A)＝秩(A，B)＝n解根据非齐次线性方程组解的判断定理可知选项D是正确．8例5求解线性方程组1232122023432143214321xxxxxxxxxxxx解将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即001001301038001002001311001231131101311001231123211212101231A因为，秩(A)=秩(A)=3，所以，方程组有解．一般解为0318334241xxxxx(x4是自由未知量)例6设线性方程组212132123123123xxxxxxxxxc试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解．解因为13501350112123111211112ccAc00013501121可见，当c=0时，方程组有解．且0000515310535101A所以，原方程组的一般解为9323153515153xxxx（x3是自由未知量）[作业设计]形成性考核册作业4