第一章---1.4.3含有一个量词的命题的否定

1.4.31.4.3含有一个量词的命题的否定【学习要求】1.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.2.理解全称命题与特称命题之间的关系.【学法指导】要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系.通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论.本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.31.全称命题的否定：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：2.特称命题的否定：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：3.全称命题的否定是命题.特定命题的否定是命题.∃x0∈M，綈p(x0).∀x∈M，綈p(x).特称全称填一填·知识要点、记下疑难点本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3探究点一全称命题的否定问题1我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题p，如何得到命题p的否定(或綈p)，它们的真假性之间有何联系？答案对命题p全盘否定，可得到命题綈p，命题p和綈p的真假性相反.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3问题2你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？答案(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋10.原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题.结论全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)，全称命题的否定是特称命题.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3例1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1)綈p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(3)綈p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.小结全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3跟踪训练1写出下列命题的否定：(1)三个给定产品都是次品；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定：三个给定产品中至少有一个是正品.(2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一.(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3探究点二特称命题的否定问题1你能写出下列特称命题的否定吗？(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋10.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？答案(1)所有实数的绝对值都不是正数；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.已知的三个命题是特称命题，它们的否定是全称命题.结论特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).特称命题的否定是全称命题.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)綈p：∀x∈R，x2＋2x＋20.(2)綈p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)綈p：每一个素数都不含三个正因数.小结特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其真假.(1)p：∃x01，使x20－2x0－3＝0；(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n∈N，使Sn0.解(1)綈p：∀x1，x2－2x－3≠0.(假)(2)綈p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，Sn≥0.(假)研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3探究点三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)0.求实数p的取值范围.解在区间[－1,1]中至少存在一个实数c，使得f(c)0的否定是在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知，f－1≤0，f1≤0，即4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，4－2p－2－2p2－p＋1≤0，即p≥1或p≤－12，p≥32或p≤－3.∴p≥32或p≤－3.故p的取值范围是－3p32.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3小结通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.跟踪训练3已知下列三个方程：(1)x2＋4ax－4a＋3＝0；(2)x2＋(a－1)x＋a2＝0；(3)x2＋2ax－2a＝0.若至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围.解当三个方程都没有实数解时，a应该满足：Δ1＝16a2＋44a－30，Δ2＝a－12－4a20，Δ3＝4a2＋8a0，解得－32a12，a－1或a13，－2a0，即－32a－1.故满足题意的a的取值范围是{a|a≤－32或a≥－1}.研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.31.命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是()A.不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B.存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C.存在x0∈R，x30－x20＋10D.对任意x∈R，x3－x2＋10解析命题p：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0是一个全称命题，其否定为特称命题，即綈p：存在x0∈R，x30－x20＋10.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.32.对下列命题的否定说法错误的是()A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：∀x∈R，x2＋x＋20解析“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.C练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.33.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|3”的否定是_________________________________.4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为_________________________.解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”.存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3有的向量与零向量不共线练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填研一研练一练1.4.3对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.本讲栏目开关填一填研一研练一练