2021年新高考数学模拟试卷(30)

第1页（共20页）2021年新高考数学模拟试卷（30）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．∅2．（5分）若𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖，则z的虚部是（）A．iB．2iC．﹣1D．13．（5分）已知向量𝑎→，𝑏→均为非零向量，（𝑎→−2𝑏→）⊥𝑎→，|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→，𝑏→的夹角为（）A．𝜋6B．𝜋3C．2𝜋3D．5𝜋64．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第一天走了（）A．192里B．68里C．48里D．220里5．（5分）在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若acosAsinC＝（2b﹣a）sinAcosC，则角C的大小为（）A．𝜋6B．𝜋4C．𝜋3D．𝜋26．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为（）A．3B．2C．32D．437．（5分）第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（）A．12B．35C．710D．458．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的体积是36√3，底面ABCD是正方形，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球体积为（）第2页（共20页）A．28√21𝜋B．992√11𝜋C．632√7πD．108√3𝜋二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）“悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况，某人根据2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步里程逐月增加B．月跑步里程最大值出现在9月C．月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳10．（5分）若函数f（x）满足（1）对于定义域上的任意x，恒有f（x）+f（﹣x）＝0（2）对于定义域上的任意x1，x2当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）为“理想函数”，给出下列四个函数中：①𝑓(𝑥)=1𝑥；②f（x）＝﹣x3；③𝑓(𝑥)=2𝑥−12𝑥+1；④𝑓(𝑥)={−𝑥2，𝑥≥0𝑥2，𝑥＜0，则被称为“理想函数”的有（）A．①B．②C．③D．④11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）的判断正确的是（）第3页（共20页）A．函数y＝f（x）是奇函数B．对任意的x∈R，都有f（x+4）＝f（x﹣4）C．函数y＝f（x）的值域为[0，2√2]D．函数y＝f（x）在区间[6，8]上单调递增12．（5分）如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C重合于点P．则下列结论正确的是（）A．PD⊥EFB．平面PDE⊥平面PDFC．二面角P﹣EF﹣D的余弦值为13D．点P在平面DEF上的投影是△DEF的外心三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）定义在R上的偶函数f（x），对任意x∈R，均有f（x+4）＝f（x）成立，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x+1，则直线y＝4与y＝f（x）的图象交点中最近两点的距离为．14．（5分）若(3√𝑥+1𝑥2)𝑛展开式中的各项系数之和为1024，则n＝，常数项为．15．（5分）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2．过点F的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2＝90°，则双曲线C的离心率为16．（5分）已知函数f（x）＝x2cos𝜋𝑥2，数列{an}中，an＝f（n）+f（n+1）（n∈N*），则数列{an}的前100项之和S100＝．四．解答题（共6小题，满分70分）第4页（共20页）17．（10分）在各项均不相等的等差数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，数列{bn}的前n项和Sn＝2n+1﹣2．（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）设cn＝2𝑎𝑛+log2bn，求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12分）在①b2+√2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A=𝜋3，b=√2，求△ABC的面积．19．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下：甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内（含350件）的部分每件0.6元．超出350件的部分每件0.9元．（1）根据题中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快件个数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ（单位：元），求ξ的分布列和数学期望；（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费．20．（12分）已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足𝐶𝐸𝐸𝐴=12，D为AB的三等分点（靠近点A），（如图（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B的平面角为90°，连接A1B，A1C（如图（2））．（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，第5页（共20页）求出PB的长；若不存在，请说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率为12，点𝑀(√3，√32)在椭圆C上，R（x0，y0）是椭圆C上的一点，从原点O向圆𝑅：(𝑥−𝑥0)2+(𝑦−𝑦0)2=127作两条切线，分别交椭圆于P，Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1•k2的值；（3）试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．22．（12分）设函数f（x）＝lnx﹣px+1，其中p为常数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；（Ⅲ）求证：𝑙𝑛2222+𝑙𝑛3232+⋯+𝑙𝑛𝑛2𝑛2＜2𝑛2−𝑛−12(𝑛+1)(𝑛∈𝑁，𝑛≥2)．第6页（共20页）2021年新高考数学模拟试卷（30）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，B＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则A∩B＝（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．∅【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，3）．故选：A．2．（5分）若𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖，则z的虚部是（）A．iB．2iC．﹣1D．1【解答】解：𝑧=𝑖2020+3𝑖1+𝑖=1+3𝑖1+𝑖=(1+3𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=2+𝑖，∴z的虚部是1．故选：D．3．（5分）已知向量𝑎→，𝑏→均为非零向量，（𝑎→−2𝑏→）⊥𝑎→，|𝑎→|＝|𝑏→|，则𝑎→，𝑏→的夹角为（）A．𝜋6B．𝜋3C．2𝜋3D．5𝜋6【解答】解：由（𝑎→−2𝑏→）⊥𝑎→，得𝑎→2−2𝑎→•𝑏→=0，∴𝑎→•𝑏→=12𝑎→2=12|𝑎→|2，∴cosθ=𝑎→⋅𝑏→|𝑎→|×|𝑏→|=12|𝑎→|2|𝑎→|×|𝑎→|=12，又θ∈[0，π]，则𝑎→，𝑏→的夹角为θ=𝜋3．故选：B．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第一天走了（）第7页（共20页）A．192里B．68里C．48里D．220里【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{an}，且公比为12，∵6天后共走了378里，∴S6=𝑎1[1−(12)6]1−12=378，解得a1＝192，第一天走了192里，故选：A．5．（5分）在△ABC中．角A、B、C所对边分别为a、b、c，若acosAsinC＝（2b﹣a）sinAcosC，则角C的大小为（）A．𝜋6B．𝜋4C．𝜋3D．𝜋2【解答】解：由acosAsinC＝（2b﹣a）sinAcosC，得asinB＝2bsinAcosC，由正弦定理得：ab＝2abcosC，∴cosC=12，又∵C∈（0，π），∴C=𝜋3，故选：C．6．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，则|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为（）A．3B．2C．32D．43【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（𝑝2，0），∵直线l倾斜角为60°，∴直线l的方程为：y﹣0=√3（x−𝑝2）．设直线与抛物线的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），∴|AF|＝x1+𝑝2，|BF|＝x2+𝑝2，联立方程组，消去y并整理，得12x2﹣20px+3p2＝0，解得x1=3𝑝2，x2=𝑝6，∴|AF|＝x1+𝑝2=2p，|BF|＝x2+𝑝2=2𝑝3，第8页（共20页）∴|AF|：|BF|＝3：1，∴|𝐴𝐹||𝐵𝐹|的值为3．故选：A．7．（5分）第28届金鸡百花电影节将于11月19日至23日在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为（）A．12B．35C．710D．45【解答】解：从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位的所有情况为：（《南方车站的聚会》，《春江水暖》），（《南方车站的聚会》，《第一次的离别》），（《南方车站的聚会》，《春潮》），（《南方车站的聚会》，《抵达之谜》），（《春江水暖》，《第一次的离别》），（《春江水暖》，《春潮》，（《春江水暖》，《抵达之谜》），（《第一次的离别》，《春潮》）（《第一次的离别》，《抵达之谜》），（《春潮》，《抵达之谜》），共10种情况，其中《春潮》