数学建模习题

1超市进货策略一家大型超市每天需要存储大量物品以满足顾客的需要。现在只考虑其中一种物品的销售和进货情况。1、假设需求是随机的，在不考虑缺货损失的情况下，确定最佳进货策略。2、确定在考虑缺货损失的情况下的最佳进货策略。3、可进一步考虑有替代品的情况下的最佳进货策略。解答：（1）不允许缺货:1、问题分析：超市需要有一定量的存货以保证每天正常销售供应，一次性进货过多，存储时间会很长，虽然供应销售满足啦，但是储存费用也相应的增加，影响超市开销的还有每次进货的固定花费。每天销售商品的综合开销（如雇工费、营业费等）稳定不变，可视为常数，对进货策略无影响，故不予考虑。2、模型假设：①、每日需求量均相等为常数n，进货周期为T，每次进货数量为R,每件货物进货价格为K；②、每次进货费用（费货物本身费用）为，每天每件商品存储费用为；③、当存储量将为0时可以立即进货补充而不出现缺货情况。3、模型建立：将存储量表示为时间（天）的函数f（t）；t=0是存储R件，即f（0）=R，f（t）以需求率n件/天。递减至f（t）=0；如下图：其中R=nT一个周期内的存储费用为=RT/2;又因为每一次进货费用为所以每一个进货周期总的花费为=+RT/2+RK=+n/2+RK；2每天的平均费用为=/T=/T+nT/2+nK;即为优化目标函数4、模型求解：求使得最小，根据韦达定理可知=R==+nK5、结果分析：（变大）则T，R（变大）（变大）则T，R（变小）n（变大）则T（变大）、R（变小）上述分析均符合常识。（2）、允许缺货：1、问题分析：允许短时间缺货，虽然会造成一定的损失，但是如果损失小于不允许缺货情况下进货费用和存储费用之和，则允许一段时间内缺货。2、模型假设：①、每日需求量均相等为常数n，进货周期为T，每次进货数量为R每件货物进货价格为K；②、每次进货费用（费货物本身费用）为，每天每件商品存储费用为；③、缺货状态下，每天每件商品缺货损失为，缺货数量可以在下次进货时不足。1、模型建立：缺货状态下可以认为储存函数f（t）为负值。进货周期为T，R为每周期进货量，当t=时，f（t）=0，所以=n；在t=T时刻补足缺货，使得下一个进货周期初始储存量为R。一个进货周期的总费用=+R/2+n/2+RK;3=/T+/(2nT)+/（2nT）+RK/T;2、模型求解：利用微分法使得最小，=0；=0；最优解：==M（每周期理论应供货量为n）M=3、结果分析：由上述结果可知T，Q，MQ；即允许缺货时周期及每次进货量增加，进货周期之初的存储量减少，缺货损失费用越大（越小），越接近T，越接近Q。所以不允许缺货状态相当于允许缺货状态的特例。