大学物理实验—误差及数据处理

误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。这节课我们学习误差及数据处理的知识。数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。一、测量与误差1.测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。测量值：数值+单位。分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。一般来说，真值仅是一个理想的概念。实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。误差ε：测量值与真值之间的差异。误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。为了全面评价测量的优劣,还需考虑被测量本身的大小。绝对误差有时不能完全体现测量的优劣,常用“相对误差”来表征测量优劣。相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。系统误差的主要来源有：①仪器误差。比如刻度不准、测量仪器的零点不准、砝码未经校正、等臂天平两臂不等长等。②理论或方法误差。这是由于测量所依据的理论公式近似或实验达不到理论要求等引起的误差。如单摆运动周期公式中忽略了周期与摆角的关系。③个人误差。这是由于观测者本人感觉器官不完善或心理特点造成的误差。例如对仪表读数时总是偏左或偏右。④环境误差。这是由于各种环境因素达不到实验要求而引起的误差。例如标准电阻没有在规定的温度下使用,且不进行温度修正等。对于系统误差，我们应弄清其产生的原因，采取一定方法尽力消除它的影响。（2）随机误差（偶然误差）在相同条件下多次测量同一物理量时，每次出现的误差时大时小、时正时负，没有确定的规律,这类误差称为随机误差。这种误差是由实验中多种因素的微小变动而引起的，例如环境温度的起伏、气流的扰动以及观测者本人在估计读数上的变动等等。随机误差是不能消除的，然而随机误差的分布服从一定的统计规律。在实验测量过程中，除了系统误差和随机误差之外，还可能出现因实验者的粗心而造成的错误，比如操作不当的错误、记错数等。这些错误不属于测量误差，必须避免。二、测量的不确定度1.测量的不确定度一切测量结果都存在着误差，由于误差的存在而对被测量值不能确定的程度称为测量的不确定度，它给出了被测量值所处的量值范围。在给出测量结果时，要同时给出相应的不确定度。例如，测得单摆的周期为T=(2.183±0.002)s(p=0.683)其中0.002s为不确定度，括号内的0.683是一个表示可能性大小的概率值。其物理意义是：对单摆周期的任一次测量，其测量值出现在(2.183-0.002,2.183+0.002)范围内的可能性为0.683。目前普遍采用不确定度来表示测量结果的误差。通常不确定度按计算方法分为两类，即对具有随机误差性质的测量值用统计方法计算获得的A类分量uA，以及用非统计方法计算获得的B类分量uB。2.随机误差与不确定度的A类分量（1）随机误差的分布与标准偏差当测量次数足够多时，随机误差服从正态分布（高斯分布）规律。正态分布曲线如图所示。图中x代表某一物理量的实测值，p(x)为测量值的概率密度，其中21()xxPxdx表示变量x在(x1,x2)区间出现的概率，称为置信概率，区间(x1,x2)称为置信区间。通过积分，可计算出x出现在（μ－σ，μ＋σ）之间的概率为0.683。说明对任一次测量，其测量值出现在（μ－σ，μ＋σ）区间的可能性为0.683。为了给出更高的置信水平，置信区间可扩展为（μ－2σ，μ＋2σ）和（μ－3σ，μ＋3σ），其置信概率分别为0.954和0.997。μ表示x出现概率最大的值，在消除系统误差后，μ为该物理量的真值。σ称为标准偏差，是正态分布函数的一个重要参数，对曲线的形状影响很大。σ越小，曲线峰值越高，图形越尖锐，表明测量值数据集中，重复性好。在物理实验中，多次测量得到的数据一般可近似看作为正态分布。22()21()2xpxe⑵多次测量平均值的标准偏差尽管一个物理量的真值是客观存在的，但由于随机误差的存在，我们只能估算真值。可以证明如果对一个物理量测量了相当多次后，其算术平均值就是接近真值的最佳值。如对物理量x测量n次，每一次测量值为xi，则算术平均值物理量x的标准偏差s可用贝塞尔公式估算为21()1niixxsn该式的物理意义：任一次测量值落在（xs）到（xs）区间的概率为68.3%。由于算术平均值是测量结果的最佳值，应比每一个测量值xi都更接近于真值，因此我们更希望知道x对真值的离散程度。由概率论可以证明算术平均值x的标准偏差为21()(1)niixxxssnnn的意义是待测物理量处于（xxs）到（xxs）区间内的概率为0.683。值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分布，上述结果才成立。在测量次数较少的情况下，例如在大学物理实验中，测量次数n一般不大于10时，测量值将呈t分布（也称学生分布）。可以证明，当5＜n≤10时，待测物理量处于（xs）到（xs）区间的概率近似或大于0.95。⑶不确定度的A类分量uA不确定度的A类分量一般取多次测量算术平均值的标准偏差，一般取置信概率为0.95。在置信概率为0.95的前提下，当测量次数5＜n≤10时，A类不确定度可用测量值的标准偏差s估算uA=s。3.不确定度的B类分量uB测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为uB。在大学物理实验中，通常取仪器最小刻度Δ仪的13作为B类分量。uB=3仪,为了方便，也可取uB=2仪作为评定。4.测量结果的表示(1)测量结果的表示如果用不确定度评价测量结果的可靠程度，则测量结果需写成下列标准形式：式中x为多次测量的平均值，U为合成不确定度，Ur为相对不确定度。合成不确定度U由A类不确定度uA和B类不确定度uB采用“均方根合成”方式得到22ABuuu（2）单次测量的不确定度的计算有些实验中，由于是在动态中测量，不容许对待测量做重复测量；也有些实验的精度要求不高；或在间接测量中，其中某一物理量的误差对最后的结果影响较小。在这些情况下，可以只对待测量进行一次测量，用单次测得值作为测量结果，近似表示被测量的真值。对于单次测量，由于不存在用统计方法计算的A类不确定度分量uA，合成不确定度U直接用B类不确定度分量uB表示，即有u=uB=3仪。单次测量的结果也用式表示测量结果。(3)多次重复测量的不确定度的计算(a)求测量数据的算术平均值：(b)用贝塞尔公式计算标准偏差：s(c)计算B类不确定度uB=3仪（d）计算合成不确定度22ABuuuur=u/x(e)计算相对不确定度：(f)给出测量结果:例1用毫米刻度的米尺，测量某物体长度6次，其测量值l如表1所示，试用不确定度表示长度l的测量结果。（4）间接测量不确定度的计算间接测量量是由直接测量量根据一定的数学公式计算出来的。从而，直接测量量的不确定度就必然影响到间接测量量，这种影响的大小也可以由相应的数学公式计算出来。设间接测量量可以用如下的函数形式表示N=F(x,y,z,…),其中x,y,z,…是直接测量结果，它们之间相互独立，它们各自不确定度为ux,uy,uz,…。它们必然影响间接测量量，使N值也有相应的不确定度u。由于不确定度都是微小的量，相当于数学中的“增量”，因此间接测量的不确定度的计算公式与数学中的全微分公式基本相同。不同之处是：其一、要用不确定度ux等替代微分dx等；其二、要考虑到不确定度合成的统计性质，一般是用“方、和、根”的方式进行合成。因此，在大学物理实验中用以下两式来简化地计算不确定度（0-18）适用于N是和差形式的函数(如23Nxyz)，(0-19))式适用于N是积商形式的函数(如23xyzN)。间接测量不确定度表示结果的计算过程如下：(a)求ux,uy,uz;（b）求间接量的最佳值N=F(,,xyz);(c)(d)用（0-18）或（0-19）求u或者ur;(e)给出实验结果三、有效数字及其运算规则1.有效数字的概念我们把测量结果中可靠的几位数字加上可疑的一位数字称测量结果的有效数字。有效数字的最后一位可疑，但它还是在一定程度上反映了客观实际。例如用毫米分度的米尺测一物体的长度，正确的读数应是在毫米后再估读一位，如13.2mm,表明了3是确切数字，而2是可疑数字。在测量读数时，不要忘了估读位的“0”。关于有效数字，需注意以下几点：（1）有效数字位数与仪器精度有关，也与被测量值大小有关。有效数字位数的多少，大致反映相对误差的大小。有效数字位数越多，则相对误差越小，测量结果的准确度越高。（2）位数与小数点位置无关，单位换算时有效数字位数不发生变化。（关于“0”是不是有效数字的问题，可以这样来判别：从左往右数，以第一个不为零的数字为起点，它左边的“0”不是有效数字，它右边的“0”是有效数字。例如0.0123是三位有效数字，0.01230是四位有效数字。作为有效数字的“0”，不可以省略不写。例如，不能将1.4600cm写作1.46cm，因为它们的准确程度是不同的。）（3）对较大或较小的数值，常采用科学计数法，即写成10n（n为正整数）形式。并且可避免数值很大时，数值的大小与有效数字位数的冲突。（4）测量结果的有效数字位数由不确定度来确定，有以下规则：(a)不确定度本身只是一个估计值。所以，在一般情况下不确定度的有效数字位数只取1位。相对不确定度取2位有效数字。(b)测量值的末位要与不确定度的末位取齐。例如L=（1.00±0.02）cm。若计算出测量量的最佳值为2.575cm,不确定度为0.03cm,那么测量值表示成（2.575±0.03）cm是不正确的，这就要涉及到数值的舍入修约规则。尾数的舍入修约规则：四舍六入五凑偶将下列各数据保留四位有效数字：7.12549；4.26778；6.24750；6.24650；5.686501最后测量结果的合成不确定度,对它们的取舍规则为“只进不舍”（非零即进）。如u=0.41cm，应保留为0.5cm。但在计算合成不确定度时，作为中间过程的A类和B类不确定度一般可保留二位有效数字，并采用“四舍六入五凑偶”法则。2.有效数字的运算规则在有效数字运算过程中，为了不致因运算而引进“误差”或损失有效位数，影响测量结果的精度，统一规定有效数字的近似运算规则如下：(1)加减法运算时，在各数中，以小数位数最少者为准，其余各数均修约成比该数多一位进行运算，最后将运算结果按数据修约规则去掉多留的那一位数字。(2)乘除运算时，在各数中，以有效数字位数最少者为准，其余各数均修约成比该数多一位有效数字（而与小数无关）进行运算，最后将运算结果按数据修约规则修约到与参加运算各数中有效数字位数最少者相同。例如：603.21×0.32÷4.011=?解：修约后运算603×0.32÷4.01=48.119,运算后修约为48。（3）乘方与开方的有效数字与其底数的有效数字位数相同。（4）对数运算结果的有效数字位数,其小数点后面部分的位数与真数的位数相同。In56.7=4.038