空间向量运算的坐标表示

2020/11/22空间向量运算的坐标表示课标要求素养达成1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.通过与平面向量的坐标运算的比较,培养学生观察、分析、类比转化能力,提高学生的分析问题和解决问题的能力.新知探求素养养成知识点一已知在单位正交基底{i,j,k}下,向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).问题:向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的?空间向量运算的坐标表示答案:a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).梳理设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=;a-b=;λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);a·b=;a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b⇔.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0知识点二空间向量夹角和距离的坐标计算公式梳理(1)夹角公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cosa,b=.题型一空间向量的坐标运算课堂探究素养提升方法技巧题型二利用向量解决平行与垂直问题(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k),因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb)(λ∈R),即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),方法技巧向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.题型三利用向量的坐标形式求夹角与距离方法技巧(1)求空间中两向量夹角的方法①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的范围a,b∈[0,π],要特别关注向量共线的情况.(2)求空间中线段的长①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.答案:(1)B(2)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,则MN的长为.解析:(2)如图,以D为顶点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,4),B(4,4,0),C1(0,4,4),D1(0,0,4).因为M为BD1的中点,所以M(2,2,2),因为N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,题型四易错辨析——由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制条件而致误纠错:解答本题易出现的失误是忽视了a·b0包含a与b夹角为180°的情况,即a与b的夹角为钝角不等价于a·b0.