5第五讲---数学解题策略-模式识别

第五讲数学解题策略1.数学模式识别1，什么是模式识别？•在数学学习过程中，所积累的，知识经验经过加工，会得出有长久保存价值，或者基本重要性的典型结构与重要类型——模式。•相当于，把相关的数学模型转化为头脑中的一些基本的编码系统，从而，当遇到新的问题的时候，就可以用这些模型，来解决相关的问题，当然，我们首先要辨别出是什么样的模型？这就是模式识别的办法。•从思维的角度，这是思维定势的正迁移，是一种积极的思维方式。推陈出新，遇心思陈！•把当前问题，和头脑中已有的知识，经验建立联系，这是非常有积极作用的思维定势。•模式识别体现了划归的思想。就是化生为熟，变为熟悉的东西，也可以分解为很多基本问题的简单原则，同时是类比，联想等思维活动，得以展开的基础。•模式识别实际上是把不规范的东西转化为，标准的问题，从而用规范的法则去解决。•在中学数学解题中，解决基本的问题，是实现解决复杂问题的基础，也是提高解题效率的方法之一，例如代数中有许多基本的公式，几何中有许多基本的图形，概率与统计中有许多基本的解决的概率模型。我们可以把一个新的问题，转化为这些基本的模型或者模式，从而用基本的方法就可以解决问题，这就是模式识别。•正方体是立体几何中的一个基本图形，应首先对正方体的基本情况了如指掌，然后遇到新的问题时，或者拼补为一个正方体、或者分割成几个正方体，这就是基本图形的思想，也是模式识别的策略.•例1.已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.(1991年数学高考理科题)•例2.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.（1992年文科）•例3-1.妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或买乙布3米，或买丙布6米，她决定3种布买一样多米。问最多能各买几米?这到底是什么类型的问题？按比例分配，不定方程，函数求极值？•例3-2.一项工程，甲干2天完成，乙干3天完成，丙干6天完成，甲、乙、丙一齐干几天完成?模式识别的建议•积极积累模式要善于整理与归类，把相关的类型，方法，和范例，作为一个整体来积累，题目类型是模式的骨架，范例是模式的血肉，方法是模式的灵魂。•解析几何模式例4解方程一般方法：移项，平方，整理，再平方这是一个椭圆定义模式•这个例子说明解题思路的发生改变，是模式识别与模式转换的过程，那么这对于我们平时要有敏锐的观察能力和变化能力。•观察已知与所求之间的联系，进行适当的联想变形，分析，题中的数学模式，产生较好的解题思路，这是模式积累的成果，也是模式使用的方法策略。•例5•数学模式的发现要从观察，联想，分析中得来•从多角度多层次观察，思考，联想，这道题有很多种解法，可以从解析几何的角度思考吗？•对于一些如函数方程，不等式，向量等问题，其中许多知识把代数和几何紧密结合在一起，思考这类问题比较困难的时候，可以考虑用解析几何的模式，也就是数形结合，根据具体的问题，分析代数式，或方程，所表示的几何意义？解析几何的方法，主要有图像法，几何法，坐标法。三角函数模式，均值不等式模式8函数模式例9自觉使用模式0映射化归•RMI原则•例4.•例5.计算•例6.•例7.把三角形ABC各边n等分，过各分点分别作各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平行线所组成的平行四边形，试计算这些平行四边形的个数.差异分析1.通过分析题目的条件与结论中所出现的数量特征(如元素个数、字母的系数或指数等)、关系特征(如大于或等于、平行或垂直等)、位置特征等去寻找目标差.2.题目一旦出现目标差就主动作出减少目标差的反应.3.减少目标差的调节要一次又一次地发挥作用，使得目标差的减少能积累起来.•例8.证明：•例9.•例10.•例11.分合并用1.区分种种情况(1)辐射式的区分例12.凸六边形的各对角线相交，无3线共点，则边一与对角线可组成多少个三角形?(2)爬坡式的程序例12.(3)回归式的区分例14.在单位正方形的周界上任意两点之间连一曲线，如果它把正方形分成两个面积相等的部分，试证这个曲线段的长度不小于1.2.整体考虑•例15.有两个同心圆盘，各分成n个相等的小格，外盘固定，内盘可以转动，内外两盘小格上分别填有实数.且满足•证明可将内盘转动到一个适当位置，使两个盘的小格对齐，这时，两个盘n个对应小格内数字乘积的和为一正数.•例16.•例17.凸k边形内部(不包括边界)任意放置n个点，在这些点之间以及这些点与凸k边形的顶点之间用线段连接起来，要使这些线段互不相交而又把原凸k边形分割为不重叠的小三角形块.求一共分成多少个小二角形?•具体到一个数学问题，如果直接下具体到一个数学问题，如果直接下手有困难，就应转而去考虑一个更特殊的问题，或一个更普遍的问题。1.推进到一般•从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小集合的更大集合，叫做推进到一般.比如说，把维数较低或抽象水平较低的有关问题转化为维数较多、抽象水平较高、整体性较强的问题，通过对整体性质或本质关系的考察，而使原问题获得解决.•离散问题可以一般化用连续手段处理.•有限问题可以一般化用数学归纳法处理，由于特殊情况往往涉及一些无关宏旨的枝节而掩盖了问题的关键，一般情况却更明确地一表达了问题的本质.•波利亚说:“雄心大的计划，成功的希望也较大.这看起来矛盾.但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。”•希尔伯特也说过，在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题的一个环节.•在解题中，构造函数，数字字母化，递推等都是这一策略的表现.例18已知,1111cbacba求证a、b、c中至少有一个等于1。•例19求和