等比数列及性质

等比数列概念及性质•1．理解等比数列的概念．•2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．•3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．•4．了解等比数列与指数函数的关系．考纲解读•请注意•等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．课前自助餐1．基础知识(1)等比数列的定义：若数列{an}满足当n≥2时anan－1＝q(常数)，则称数列{an}为等比数列．(2)通项公式an＝＝am·.a1·qn－1qn－m•2．性质•(1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则am·an＝.•(2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝S奇·____.•(3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比数列，新公比q′＝.ap·aqqqk•3．常用技巧•(1)若{an}是等比数列，且an0(n∈N*)，则{logaan}(a0且a≠1)成数列，反之亦然．(2)三个数成等比数列可设三数为，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为.等差bq，b，bqbq3，bq，bq，bq3•1．(课本习题改编)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()•A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9•C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9•答案B•2．(2014·重庆理)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()•A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列•C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列•答案D解析由等比数列的性质，得a3·a9＝a26≠0.因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.•3．若公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝()•A．4B．5•C．6D．7•答案B解析由题意可知a3a11＝a27＝16，因为{an}为正项等比数列，所以a7＝4，所以log2a10＝log2(a7·23)＝log225＝5.•4．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.•答案240•5．(课本习题改编)若数列{an}为等差数列，则数列{2an}为________数列；若数列{an}为等比数列，且an0，则数列{lgan}为________数列．•答案等比，等差解析①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则2an＋12an＝2an＋1－an＝2d，∴{2an}为等比数列；②若数列{an}为等比数列，设公比为q，则lgan＋1－lgan＝lgan＋1an＝lgq，∴{lgan}为等差数列．•6．若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这三个数分别是________．答案2，2,22或－2，2，－22解析设插入三个数分别为a，b，c，则b2＝1×4，∴b＝2或b＝－2(舍)，a2＝1×b＝2.∴a＝±2，同时c2＝b×4＝8，∴c＝±22，且a，c同号．∴这三个数为2，2,22或－2，2，－22.授人以渔题型一等比数列的基本量例1{an}为等比数列，求下列各值．(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝12，求n；(2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q；(3)已知q＝－2，S8＝15(1－2)，求a1.【解析】(1)方法一：∵a4＋a7＝a3·q＋a6·q＝qa3＋a6＝18，a3＋a6＝36，∴q＝12.又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，∴a3＝32.∵an＝a3·qn－3＝32·(12)n－3＝28－n＝12＝2－1，∴8－n＝－1，即n＝9.方法二：∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18且a3＋a6＝a1·q2·(1＋q3)＝36，∴q＝12，a1＝128.又∵an＝a1·qn－1＝27·(12)n－1＝28－n＝12＝2－1，∴8－n＝－1，即n＝9.(2)∵a2·a8＝a3·a7＝36且a3＋a7＝15，∴a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3.∵q4＝4或q4＝14，∴q＝±2或q＝±22.(3)∵S8＝a1[1－－28]1＋2＝a1－151＋2＝15(1－2)，∴a1＝－(1－2)·(1＋2)＝1.【答案】(1)9(2)±2或±22(3)a1＝1•探究1等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式，并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．•(1)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为()•A．63B．64•C．127D．128思考题1【解析】∵a5＝a1q4，∴16＝q4.又q0，故q＝2，S7＝a11－q71－q＝127，选C.【答案】C(2)在等比数列{an}中，a3＝112，S3＝412，求a1和q.【解析】①当q≠1时，S3＝a11－q31－q＝412，又a3＝a1·q2＝112，∴a1(1＋q＋q2)＝412，即32q2(1＋q＋q2)＝412.解得q＝－12(q＝1舍)，∴a1＝6.②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝112.综上所述，得a1＝6，q＝－12或a1＝112，q＝1.【答案】a1＝6，q＝－12或a1＝112，q＝1题型二等比数列的性质例2(1)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42【解析】(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a65＝50，a4a5a6＝a35＝52，选A.【答案】A•(2)在等比数列{an}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝________，若a3＝4，a11＝1，则a7＝________.【解析】设数列{an}的公比为q，则a3，a6，a9组成的新数列的公比为q3.若a3＝4，a9＝1，则a26＝4，a6＝±2，合题意；a3，a7，a11组成的新数列的公比为q4，由a3＝4，a11＝1，得a27＝4，当a7＝2时，q4＝12，合题意，当a7＝－2时，q4＝－12，不合题意，舍去．【答案】±2,2•(3)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．•【解析】∵{an}是等比数列，∴(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－S2m)，即202＝10·(S3m－30)，得S3m＝70.•【答案】70•探究2(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．•(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．•(1)(2014·大纲全国理)在等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于()•A．6B．5•C．4D．3•【解析】∵a4＝2，a5＝5，•∴a4a5＝a1a8＝a2a7＝a3a6＝10.•∴lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1a2…a8)＝lg(a1a8)4＝lg(a4a5)4＝4lg(a4a5)＝4lg10＝4，选C.•【答案】C思考题2•(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn，(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m的值为()•A．4B．7•C．10D．12•【答案】A•(3)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________.【答案】－78题型三等比数列的判定例3数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；(2)设cn＝an3n－1，求证：{cn}是等比数列．【证明】an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.(1)bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2，∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1.∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，∴an＋12n－1－an2n－2＝3.∴数列{an2n－2}是等差数列，公差为3，首项为2.∴an2n－2＝2＋(n－1)×3＝3n－1.∴an＝(3n－1)·2n－2.∴cn＝2n－2.∴cn＋1cn＝2n－12n－2＝2.∴数列{cn}为等比数列，公比为2.【答案】(1)略(2)略探究3证明数列{an}为等比数列有两种方法：①证an＋1an＝q(常数)，②证a2n＝an＋1·an－1(n≥2)．•已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.•(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；•(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．思考题3【解析】(1)由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．(2)方法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)．∴2an＋1－2an＝an－an－1.∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝12，a2＋a1＋a2＝2，∴a2＝34.∴c2＝34－12＝14，c2＝12c1.∴数列{cn}是首项为12，公比为12的等比数列．∴cn＝12·(12)n－1＝(12)n.方法二：由(1)bn＝－12·(12)n－1＝－(12)n.∴an＝－(12)n＋1.∴cn＝－(12)n＋1－[－(12)n－1＋1]＝(12)n－1－(12)n＝(12)n－1(1－12)＝(12)n(n≥2)．又c1＝a1＝12也适合上式，∴cn＝(12)n.【答案】(1)略(2)cn＝(12)n•1．通过例1复习等比数列求基本量的问题．•2．通过例2复习等比数列的性质．•“巧用性质、减少运算量\”在等差、等比数列的计算中非常重要但有时产生增解．•3．应用等比数列前n项和公式时，需注意是否对q＝1和q≠1进行讨论．4．解答数列综合题，要重视审题、精心联想、沟通联系．如数列{an}中的a3，a9是方程x2－6x＋2＝0的两根，求a6，由根与系数可知a3·a9＝2再由等比数列性质知a26＝2，∴a6＝±2，若将a3，a9改为a2，a10其他条件不变，a6为什么只等于2，而a6≠－2，你知道吗？自助餐•1．在等比数列{an}中，a2016＝8a2013，则公比q的值为()•A．2B．3•C．4D．8•答案A解析依题意得a2016a2013＝q3＝8，q＝2，选A.•2．在公比为正数的等比数列中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于()•A．21B．42•C．135D．170•答案D解析方法一：S8＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋(a7＋a8)＝2＋8＋32＋128＝170.方法二：q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，又q0，∴q＝2.∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝23.∴S8＝23·28－12－1＝170.3．在14与78之间插入n个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数()A．4B．5C．6D．7答案B解析∵q≠1