高中数学好题速递400题(第151—200题-word版-含答案解析)

好题速递151（2015湖北第17题）a为实数，函数2fxxax在区间0,1上的最大值记为ga，当a_________时，ga的值最小解：若0a时，22fxxaxxax在区间0,1上单调递增，故1gaa若012a，即02a时，221,0222max0,1,max0,1,24,22224aaaagafffaaa若12a，即2a时，22fxxaxxax在区间0,1上单调递增，1gaa综上，21,222,222241,2aaagaaaa，故当222a时，ga取得最小值为322好题速递152（2015重庆第14题）设实数,0ab，5ab，则13ab的最大值为。解法一：213421391318abababab即1332ab当且仅当13ab且5ab，即73,22ab时，取得等号解法二：换元使得题干更清晰，设1,3axby则题目变为“实数,1xy，229xy，求xy的最大值。利用不等式链条22222xyxy，得32xy当且仅当322xy时取得等号解法三：三角换元，令3cos,3sinxy，且满足11cos,sin33则3cos3sin32sin4xy当4时取得最大值32，且此时满足11cos,sin33解法四：令2xyt，则229xtx，即222290xtxt在1,3上有解则2127ftt，23690ftt满足130ff或2210301324890ffttt解得232t，且3t故t的最大值为32好题速递153（2015湖北理科第9题）已知集合22,|1,,AxyxyxyZ，,|2,2,,BxyxyxyZ，定义集合12121122,|,,,ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为A．77B．49C．45D．30解：因为集合22,|1,,AxyxyxyZ，所以集合A中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合,|2,2,,BxyxyxyZ中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD中的整点，集合12121122,|,,,ABxxyyxyAxyB中的元素表示B中的点向左、右、上、下方向移动一个单位，即AB的元素可看作正方形1111ABCD中的整点（除去四个顶点），即77445个好题速递154（2015浙江理科第7题）存在函数fx满足，对任意xR都有（）A.(sin2)sinfxxB.2(sin2)fxxxC.2(1)1fxxD.2(2)1fxxx解：对A选项，取0x，可知00f，再取2x，可知01f，矛盾对B选项，取0x，可知00f，再取2x，可知2042f，矛盾对C选项，取1x，可知22f，再取1x，可知20f，矛盾对D选项，令10tx，所以211fttfxx，符合题意，故选D本题与浙江文科第8题异曲同工，都是考查函数概念的问题。（2015浙江文科第8题）设实数,,abt满足1sinabt，则（）A．若t确定，则2b唯一确定B．若t确定，则22aa唯一确定C．若t确定，则sin2b唯一确定D．若t确定，则2aa唯一确定解：因为1sinabt，所以2221sinabt，所以2221aat，故当t确定时，21t确定，所以22aa唯一确定，故选B。好题速递155（2015广东理科第8题）若空间中有n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A．至多等于3B．至多等于4C．至多等于5D．可以大于5解析显然正四面体的四个顶点之间的距离两两相等，因此至少有4个点．下面证明n不会大于4．若已有正四面体ABCD，则第5个点E与其中三点,,BCD也可以构成正四面体EBCD，相当于两个正四面体共底面BCD，但2AEAH正四面体边长，故不可能存在第5个点．好题速递156（2015全国文科第16题）已知F是双曲线22:18yCx的右焦点，P是C左支上一点，0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．解：设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知12PFaPF所以APF周长为12PAPFAFPAaPFAF由于2aAF是定值，要使APF周长最小，则1PAPF最小，即1,,PAF三点共线因为0,66A，13,0F，所以直线1AF的方程为1366xy代入22:18yCx整理得266960yy，解得26y或86y（舍去）所以26Py所以111166662612622APFAFFPFFSSS好题速递157（2015全国理科第16题）在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是．解：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合于E点时，AB最长，在BCE中，75BC，30E，2BC，由正弦定理可得sinsinBCBEEC，即oo2sin30sin75BE，解得62BE，平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在BCF中，75BBFC，30FCB，由正弦定理知，sinsinBFBCFCBBFC，即oo2sin30sin75BF，解得62BF所以AB的取值范围为62,62好题速递158（2015天津理科第8题）已知函数22,2,2,2,xxfxxx，函数2gxbfx，其中bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（A）7,4（B）7,4（C）70,4（D）7,24解：由22,2,2,2,xxfxxx得222,0(2),0xxfxxx，所以222,0()(2)42,0222(2),2xxxyfxfxxxxxxx，即222,0()(2)2,0258,2xxxyfxfxxxxx()()()(2)yfxgxfxfxb,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程()(2)0fxfxb有4个不同的解，即函数yb与函数()(2)yfxfx的图象的4个公共点，由图象可知724b（2015天津文科第8题）已知函数22,22,2xxfxxx，函数32gxfx，则函数yfxgx的零点的个数为．解：当0x时，22fxx，此时方程210fxgxxx的小于0的零点为152x当02x时，222fxxx，方程22fxgxxx无零点当2x时，2224fxxx，方程2227330fxgxxxxx有一个大于2的根3212x故共有2个零点．好题速递159（2015上海理科第13题）已知函数sinfxx，若存在12,,,mxxx满足1206mxxx，且（2,mmN），则m的最小值为．解：因为对任意2,mmN和任意mxR都有12mmfxfx由1223112mmfxfxfxfxfxfx知7m但当7m时，必须使122,3,4,5,6,7mmfxfxm则1267,,,,xxxx依次取35791113,,,,,,62222222，不合题意当8m时，1267,,,,xxxx依次取3579110,,,,,,,6222222可满足题意，所以m的最小值为8好题速递160（2015江苏第13题）已知函数lnfxx，20,0142,1xgxxx，则方程1fxgx的实根个数为．解：11fxgxgxfx作出函数ygx与1yfx的图象，观察共有4个交点。好题速递161（2015湖北理科第8题）将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长bab同时增加0mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee解：不妨设双曲线1C的焦点在x轴上，即其方程为22221xyab，双曲线22222:1xyCambm222121abbeaa，222221ambmbmeamam当ab时，0bmabamabmbmbamaaamaam，所以bmbama，即12ee当ab时，0bmabamabmbmbamaaamaam，所以bmbama，即21ee故选D评注：这是糖水不等式的应用。好题速递162（2015上海理科第14题）在锐角ABC中，1tan2A，D为BC边上的点，ABD与ACD的面积分别为2和4，过D分别作DEAB于E，DFAC于F，则DEDF．解：如图，由2ABDS得4ABDE①由4ACDS得8ACDF②由6ABCS得sin12ABACA而5sin5A，25cos5A得125ABAC③由①②③可得8515DEDF，所以8516coscos1515DEDFDEDFEDFA好题速递163（2015上海文科第13题）已知平面向量,,abc满足ab，且,,1,2,3abc，则abc的最大值是．解：abcabc，当且仅当,abc同向时取等号。由ab得22abab当c分别为1，2，3时，ab分别为13,10,5故maxmax131,102,5353abc好题速递164函数模块1．设二次函数2,fxxbxcbcR，已知对于任意,R，恒有sin0f和2cos0f成立，则lnbc．解：在2,fxxbxcbcR中令1x，可产生bc因为1sin1且sin0f恒成立，所以10f因为12cos3且2cos0f恒成立，所以10f从而10f，所以10bc，即1bc，得ln0bc好题速递165函数模块2．已知定义在R上的函数fx满足222,0,12,1,0xxfxxx，且2fxfx，252xgxx，则方程fxgx在区间5,1上的所有实根之和为．解：由题意知，251222xgxxx函数fx的周期为2，则fx与gx在区间5,1上的图象如右图所示由上图可知，函数fx与gx在区间5,1上的交点为,,ABC，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为01tt，则点A的横坐标为4t