自动控制原理-第四章---根轨迹法

4.1根轨迹方程根轨迹：是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。KssKKssKs2)1()(24121,2412121KsKs表示系统的闭环极点0jj0.5K=1/2-0.5-1p1p2闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式令K（由0到∞）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）4.1.1根轨迹概念1)s(sKR(s)(-)C(s)4.24.3•根轨迹增益：K*为开环系统根轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及mn可知）•开环零点：指系统开环传递函数中分子多项式方程的根。•开环极点：指系统开环传递函数中分母多项式方程的根。•闭环零点：指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根。闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。•闭环极点：指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根。闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。（K*→0,开闭环极点相同。）njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsHsG11*210210)()()())(()())(()()(miinjjnjjzsKpspssGsHsGsGs1*11)()()()()()(1)()(4.1.2开/闭环传递函数零极点表达式•根轨迹法的基本任务：•由已知的开环零、极点分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。1.由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)=–1),2,1,0k(e1)ps()zs(K)1k2(n1iim1jj*,1|ps||zs|Kn1iim1jj*)12()()(11kpszsniimjj4.1.3根轨迹方程再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相角方程分别为：2.将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：•法则4:实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。•法则6:根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk)：o起始角：)()()12(11inkiikjkmjpkppzpk•法则2:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于[s]平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。•法则3:根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。mnzpmiiniia11•法则5:根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角k依次取0,+1,–1,+2,–2,…一直到获得n-m个倾角为止。其中，n为开环极点数，m为开环零点数。(a可由相角方程中S得到。)mnka)12(4.2根轨迹绘制的基本法则例1a4.3证14.1例1例3证1例1b例2证2•法则1:根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。•法则8:根轨迹与虚轴的交点：•法则7:分离点（会合点）坐标d：o几条根轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。o分离点的坐标d可由方程得到。miiniizdpd11110)()(1jHjG0)]()(1Im[0)]()(1Re[jHjGjHjG111apsniinii)zz()pz()1k2(jmkj1jkin1ikzko终止角：紧转例4•法则9:根之和：o若n-m=2，则有例3证3例2例2证明1•由根轨迹方程：*/1)()(11Kpszsniimjj01lim)()(lim11mnsniimjjsspszs)12()()(11kpszsniimjjjp01p02p03p040z01z02z03z04s0z05其余n-m条终止于无穷远处:起点:K*=0,式(#)∞,所以s=pi(i=1,2,…n)终点:K*∞,式(#)0,所以s=zj(j=1,2,…m)证明2•由nki1ii1m1jj1ps11pszs)1k2()ps(11nki1iikm1jjkpkppzp)1k2()z(z)p(z)π1k2(θjmkj1jkin1ikzk)12()()(11kpszsniimjj•同理得•假设在一开环极点p1附近取一点s1,则证明3•系统闭环特征方程为0)()(1*1mjjniizsKps0)()(1*1mjjniizsKps0)]()([1*1mjjniizsKpsdsdmjjmjjniiniizszsdsdpspsdsd1111)(])([)(])([dszsddspsdmjjnii11)(ln)(ln即niiniipsps11)ln()(ln又mjjmjjzszs11)ln()(lnmiiniizsps1111即mjjniidszsddspsd11)ln()ln(代入得•根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为•两式相除得例1a103)2()1(011mnzpmiiniia、、33)12(mnka)2)(1()(*sssKsG例1b已知单位反馈系统的)22()(2*sssKsG单位反馈系统的例2p02j0-1j1j1.15ap03p01606032452,4:临界稳定*K3203)j1()j1(0mnzpσm1iin1iia,3,3mn)1k2(anki1iikm1jjkpkppzp)1k2(0Kj22j0)Ks2s2s(0)s(H)s(G1*23js*23即4,20202*3*2KK44320)1k2(2p例3103)2()1(0mnzpσm1iin1iiaπ,3π,3πmn1)π(2ka021111ddd)(58.1,42.021舍去dd0Kj23j0)Ks2s3s(0)s(H)s(G1*23js*23即6K,2ω*•开环增益为K=K＊/2，K的稳定域为0K3.)2)(1()(*sssKsG•例:某单位反馈系统，例40jj2.45j4-4-210j45135复数分离点实数分离点)4j2s)(4j2s)(4s(sK)20s4s)(4s(sK)s(H)s(G*2*•例:若开环零、极点个数均为偶数，且左右对称分布于一条平行于虚轴的直线，则根轨迹一定关于该直线左右对称。