线性变换的基本性质教案-人教课标版(精品教案)

《线性变换的基本性质》教案教学目标:一、知识与技能：会证明定理和定理；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21A＝AA21二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理和定理的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。教学重点:定理的探究及证明教学难点：定理的探究教学过程一、复习引入：、基本概念（）二阶矩阵：由四个数a，b，c，d排成的正方形数表dcba称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵0000为零矩阵，简记为。称二阶矩阵1001为二阶单位矩阵，记为2E。（）向量：向量（yx,）是一对有序数对，yx,叫做它的两个分量，且称yx为列向量，（yx,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。、败类特殊线性变换及其二阶矩阵（）线性变换在平面直角坐标系中，把形如dycxybyaxx``（其中a，b，c，d为常数）的几何变换叫做线性变换。（）旋转变换坐标公式为cossinsincos``yxyyxx，变换对应的矩阵为cossinsincos（）反射变换①关于x的反射变换坐标公式为yyxx``对应的二阶矩阵为1001；②关于y的反射变换坐标公式为yyxx``对应的二阶矩阵为1001；③关于xy的反射变换坐标公式为xyyx``对应的二阶矩阵为0110；（）伸缩变换坐标公式为ykyxkx2`1`对应的二阶矩阵为2100kk；（）投影变换①投影在x上的变换坐标公式为0``yxx对应的二阶矩阵为0001；②投影在y上的变换坐标公式为yyx``0对应的二阶矩阵为1000（）切变变换①平行于x轴的切变变换坐标公式为yysyxx``对应的二阶矩阵为101s101s②平行于y轴的切变变换坐标公式为ysxyxx``对应的二阶矩阵为101s二、新课讲解定理设＝dcba，111yxX，222yxX，t，k是实数。则以下公式成立：（1）（t1X）＝t（1X）（2）1X＋2X＝（1X＋2X）（3）（t1X＋k2X）＝t1X＋k2X证明：（）（t1X）＝dcba11tytx＝1111dtyctxbtyatx＝1111dycxbyaxt＝t（1X）（）1X＋2X＝dcba11yx＋dcba22yx＝1111dycxbyax＋2222dycxbyax＝22112211dycxdycxbyaxbyax＝)()()()(21212121yydxxcyybxxa＝dcba2121yyxx＝（1X＋2X）（）（t1X＋k2X）＝（t1X）＋（k2X）＝t1X＋k2X由定理还得出：（2X1X）＝2X＋（1X）＝2X1X由定理还可翻译为线性变换在向量上作用的等式AAA)(；tAtA)(；)(21A＝AA21定理可逆的线性变换具有如下性质：（）直线仍变成直线；（）将线段仍变成线段（）将平行四边形变成平行四边形证明：设可逆线性变换的矩阵为。设0P，1P，2P为平面三个不同的点，P为平面上任意一点，点0P，1P，2P，P，分别初恋换变到点`0P，`1P，`2P，`P如图所示。设0OP，1OP，2OP，OP，`0OP，`1OP，`2OP，`OP的坐标分别是0X，1X，2X，X，`0X，`1X，`2X，`X则`0X＝0X，`1X＝1X，`2X＝2X，`X＝X设0P，1P不重合，决定一条直线0P1P和一条线段0P1P由于是可逆变换，`0P，`1P也不重合，也决定一条直线`0P`1P和一条线段`0P`1P（1）点P在直线0P1P上存在实数t使PP0＝t10PPX0Xt(1X0X)(X0X)t(1X0X)X0Xt(1X0X)`X`0Xt(`1X`0X)``0PPt`1`0PP`P在直线`0P`1P上因此，将直线0P1P变成直线`0P`1P（2）点点P在线段0P1P上存在实数t使10t且PP0＝t10PP重复（）的计算，知道PP0＝t10PP``0PPt`1`0PP`P在线段`0P`1P上这说明将线段0P1P变成线段`0P`1P（3）设四边形0P1P2PP是平行四边形，则10PP＝PP2，并且直线0P1P与直线2PP不重合。由于是可逆变换，直线`0P`1P与直线`2P`P不重合。并且，由（）的结论，四边形0P1P2PP的四条边0P1P，1P2P，2PP，P0P分别变成条线段`0P`1P，`1P`2P，`2P`P，`P`0P，这条线段围成一个四边形`0P`1P`2P`P且由10PP＝PP21X0X＝X2X（1X0X）＝（X2X）1X0X＝X2X＝`1X`0X＝`X`2X`1`0PP＝``2PP知道`0P`1P`2P`P是平行四边形。三、例题解析例、对矩阵＝0110，向量＝32，＝21，验证以下等式成立（）AAA)(；（）（21）＝21解：（）)(A0110（32＋21）＝011051＝15AA＝011032011021＝2312＝15∴AAA)(（）（21）＝0110231＝12321＝21011032＝2123＝123∴（21）＝21例、直线l经过点（）和（），考查矩阵1011把直线l变成什么图形？思路点拔：考虑在矩阵1011对应变换下点，所得的点.和，确定图形形状解：101101＝01101111＝12即在矩阵的作用下点变成点，点（）变成点（）AB＝OB－OA＝1OB－OA＝1AB即AB变成1AB，由于和不重合，01AB，所以，矩阵把直线l变成了经过点和的直线例、梯形的顶点为（，）（，），（），且∥，求证：梯形在＝1221矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。证明：由122100＝00；122102＝42；122132＝78；122120＝24所以在矩阵的作用下点分别变成点，（，4），（,7），（，2）11BA＝（，3），1OC＝（，2）11BA＝123OC，即∥平行且不相等所以梯形在＝1221矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。四、课堂练习、给定矩阵＝0001，考查该矩阵抒经过点（，）垂直于x轴的直线l变成什么？、已知△的顶点坐标分别是（），（，3），（），求证：在矩阵21232321变换下△仍是三角形。五、小结、矩阵既可以对点进行线性变换，也可以对向量进行线性变换，共线向量在矩阵对应的线性变换作用下所得到向量仍共线，且所成比例不变、可逆变换保持图形性状不变，直线变成直线，平行直线变成平行直线，相交直线变成相交直线等；而不可逆变换则有可能改变图形形状，直线变成点，矩形变成线段。六、课后作业：课本页习题教学反思：面对着学习，你就要有毅力。因为你就如身在干旱的沙漠之中，没有水也没有食物，你有的就仅仅是最后的那一点力气和时时蒸发着的那一点微少的汗水，你在这种地境里，不可以倒下，要坚强，要努力走出这个荒芜的沙漠，找回生存的希望，仅此无他。在学习的赛跑线上，你就应该有着这不懈的精神，累了，渴了，你仍要坚持下去，因为终点就在不远的前方…行路人，用足音代替叹息吧！志士不饮盗泉之水，廉者不受嗟来之食你的作业进步很大，继续加油！你会更出色！位卑未敢忘忧国，事定犹须待阖棺。希望你一生平安，幸福，像燕雀般起步，像大雁般云游，早日像鹰一样翱翔,千里之行，始于足下。学习就是如此痛快，它能放松人的心灵，但必须是在热爱的基础上。瞧！学习就能带来如此奇妙的享受！学习总是在一点一滴中积累而成的，就像砌砖，总要结结实实。踏踏实实的学吧！加油！成功属于努力的人！聪明出于勤奋，天才在于积累。人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。生活中处处都有语文，更不缺少语文，而是缺少我们发现语文的眼睛，善于发问的心。让我们在生活中，去寻找更有趣、更广阔、更丰富.