材料力学弯曲应力

1第五章弯曲应力目录2回顾与比较内力AF应力PITFAyFSM??目录3第五章弯曲内力•§5-1纯弯曲•§5-2纯弯曲时的正应力•§5-3横力弯曲时的正应力•§5-4弯曲切应力•§5-5关于弯曲理论的基本假设•§5-6提高梁强度的措施目录41、纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲§5-1纯弯曲目录5PPABP-PPaaa(+)(+)(-)Q图M图2纯弯曲时的现象(2)纵向线弯曲成弧线并有伸缩,只有一层纤维不发生伸缩。中性层:纵向纤维不发生伸缩的面.中性轴:中性层与横截面的交线.3假设§5-1纯弯曲纵向纤维间无正应力假设:平面假设:(1)横向直线仍然保持为直线,绕某轴转动,仍然与纵向线垂直。6正应力推导目录§5-2纯弯曲时的正应力一、变形几何关系7目录§5-2纯弯曲时的正应力dx8二、物理关系胡克定理EyE目录§5-2纯弯曲时的正应力dxbbbbdxdx9三、静力学条件yEZ1EIM目录§5-2纯弯曲时的正应力10正应力公式变形几何关系物理关系yEyE静力学关系Z1EIMZIMy为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径目录§5-2纯弯曲时的正应力11正应力分布ZIMyZmaxmaxIMyZmaxWMmaxZZyIWminZWM§5-2纯弯曲时的正应力目录MzσdAyzCxyzmaxmin12常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面AdAyI2ZmaxZZyIW644ZdI323ZdW)1(6444ZDI)1(3243ZDW123ZbhI62ZbhW12123300ZbhhbI)2//()1212(03300ZhbhhbW目录§5-2纯弯曲时的正应力13横力弯曲§5-3横力弯曲时的正应力6-2目录14横力弯曲正应力公式Z)(IyxM弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲最大正应力目录§5-3横力弯曲时的正应力15弯曲正应力公式适用范围:ZIMy•细长梁的纯弯曲或横力弯曲•横截面惯性积IYZ=0•弹性变形阶段目录§5-3横力弯曲时的正应力16弯曲正应力强度条件σIyMσzmaxmaxmax1.弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑与MzI目录§5-3横力弯曲时的正应力σWMσzmaxmax17FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）解：例题6-1目录§5-3横力弯曲时的正应力18BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN2.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCC目录§5-3横力弯曲时的正应力19BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN3.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM截面惯性矩45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyM目录§5-3横力弯曲时的正应力20BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1mMxm67.5kN8/2ql30zy180120KFSx90kN90kN4.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CMC截面惯性矩45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1目录§5-3横力弯曲时的正应力21zIyMmaxmaxmax分析（1）（2）弯矩最大的截面M（3）抗弯截面系数最小的截面zW图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力.MPa60mm1601dzWMmaxmax例题6-2目录§5-3横力弯曲时的正应力22（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核B截面：MPa5.41Pa105.4116.0322675.62326331maxdFaWMzBBMPa4.46Pa104.4613.0321605.62326332maxdFbWMzCCC截面：（5）结论:满足强度条件（1）计算简图（2）绘弯矩图FaFb解：目录§5-3横力弯曲时的正应力23分析（1）确定危险截面（3）计算maxM（4）计算，选择工字钢型号zW某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自重材料的许用应力MPa,140kN,7.61F,kN502F起重量跨度m,5.9l试选择工字钢的型号。zWMmaxmax（2）例题6-3目录§5-3横力弯曲时的正应力24（4）选择工字钢型号（5）讨论（3）根据zWMmaxmax计算33663maxcm962m109621014045.910)507.6(MWz（1）计算简图（2）绘弯矩图解：36c工字钢3cm962zWkg/m6.67q目录§5-3横力弯曲时的正应力25作弯矩图，寻找需要校核的截面ccttmax,max,,要同时满足分析：非对称截面，要寻找中性轴位置T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。MPa,60,MPa30ct例题6-4目录§5-3横力弯曲时的正应力26mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064.728120201212020422080122080zI（1）求截面形心z1yz52解：目录§5-3横力弯曲时的正应力27（4）B截面校核ttMPa2.27Pa102.271064.710521046633max,ccMPa1.46Pa101.461064.710881046633max,（3）作弯矩图目录kN.m5.2kN.m4§5-3横力弯曲时的正应力28（5）C截面要不要校核？ttMPa8.28Pa108.281064.71088105.26633max,（4）B截面校核（3）作弯矩图ttMPa2.27max,ccMPa1.46max,目录kN.m5.2kN.m4§5-3横力弯曲时的正应力29在有切应力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在切应力方向与剪力的方向相同，并沿截面宽度方向切应力均匀分布（对于狭长的矩形截面适用）在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的切应力，而无须应用“平衡，变形协调和物理关系”。假设§5-4弯曲切应力30（一）矩形截面LABF(+)(-)图SFbh分析方法（截面法）：1、沿mm,nn截面截开，取微段dx。mmnndxmmnnSFSFMM+dMmmnn12kl图M(+)§5-4弯曲切应力31mn12kl2、沿kl截面截开，根据切应力的互等定理：∵dx很小，在kl面上可认为均布。1NF2NFSF021NSNFFF3、列平衡方程，由：0xF即0)(2121AAdAbdxdA§5-4弯曲切应力32而,11zIMyzIydMM12)(代入得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIM11AzdAyIdMbdx*zSzzbISdxdM*SFzzSbISF*§5-4弯曲切应力33AFS236-3目录§5-4弯曲切应力34（二）工字形截面梁的弯曲切应力翼缘1、腹板zzSISFy*)()(yz腹板式中(y)：截面上距中性轴y处的切应力：y处横线一侧的部分面积对中性轴的静矩*zS：整个截面对中性轴的惯性矩zI：y处的宽度y§5-4弯曲切应力35腹板上的切应力呈抛物线变化，腹板部分的切应力合力占总剪力的95~97%。zzSISFmax,max)/(max,zzSSIF§5-4弯曲切应力362、翼缘)(z)(y翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪力形成“切应力流”。翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。腹板与翼缘交界处的应力较复杂，在连接处的转角上发生应力集中，为了避免这一点，以圆弧连接，使这里的切应力实际值接近以腹板切应力公式所得到的结果。§5-4弯曲切应力37max=43FSA（三）其它形状截面梁的弯曲切应力圆截面§5-4弯曲切应力38max=2.0FSA圆环截面zyQFmax§5-4弯曲切应力39（四）切应力强度条件][)(maxmax,maxzzSISF对于等宽度截面，发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，不一定发生在中性轴上。maxmax在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，切应力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁及胶合梁等等时，也需要较核切应力强度(见P.154)。§5-4弯曲切应力40例如LABF0.9LABFF0.2L0.2L0.6L(+)(-)图QF0.9F0.1F图M(+)0.09FLF图QF(+)(-)-F0.2FL(+)M-图§5-4弯曲切应力41（2）正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力、切应力。这些点的强度计算，应按强度理论进行计算。§5-4弯曲切应力42悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的〔σ〕=10MPa，[τ]=1MPa，求许可载荷。21maxmax6bhlFWMz1.画梁的剪力图和弯矩图2.按正应力强度条件计算许可载荷SFFMFl3.75kNN375061015010010692721lbhFbhFAFS2/32/32max3.按切应力强度条件计算许可载荷kN01N100003/101501001023/2662bhFFl100505050z解：例题6-5目录§5-4弯曲切应力43gZZSbhFbbhhbFbISF341233323*g4.按胶合面强度条件计算许可载荷3.825kNN382541034.010150100343663gbhF5.梁的许可载荷为3.75kNkN825.3kN