3.1不等式与不等关系-课件

3.1不等关系与不等式比较实数a，b的大小(1)文字叙述如果a－b是正数，那么a__b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a__b，反之也成立．(2)符号表示a－b0⇔a__b；a－b＝0⇔a___b；a－b0⇔a__b.自学导引1．＝常用的不等式的基本性质(1)对称性：ab⇔b__a；(2)传递性：ab，bc⇒a__c；(3)可加性：ab⇒a＋c__b＋c；(4)可乘性：ab，c0⇒ac__bc；ab，c0⇒ac__bc；(5)加法法则：ab，cd⇒a＋c__b＋d；(6)乘法法则：ab0，cd0⇒ac__bd；(7)乘方法则：ab0，n∈N，n≥2⇒an__bn；(8)开方法则：ab0，n∈N，n≥2⇒na__nb.2．：尝试证明性质(8)．提示：(反证法)假设na不大于nb.这有两种情况：nanb，或na＝nb.由ab0(n∈N*，n1)⇒anbn知，当nanb时，有ab；当na＝nb时，有a＝b.都与ab0矛盾，∴nanb.两个实数比较大小关系在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．特别提醒：(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号，从而比较出两个数的大小关系．(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系得到两个数的大小．名师点睛1．不等式性质的理解(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．(2)性质4中①当c0时，得同向不等式．②当c0时，得异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．(5)性质7、8成立的条件：n是大于1的整数，ab0，这个条件不能忽略，当n取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，即有ab⇒anbn(n＝2k＋1，k∈N*)，ab⇒nanb(n＝2k＋1，k∈N*)．2．题型一用不等式(组)表示不等关系配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．[思路探索]根据甲、乙两种原料的限额列不等式．【例1】解根据题意可得3x＋5y≤20，5x＋4y≤25，x≥1，x∈N，y≥1，y∈N.用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？∴销售总收入为[8－(2x－5)]·x＝(13－2x)·x(万元)，则销售总收入不低于20万元，用不等式表示为：(13－2x)·x≥20.解∵提价后杂志的定价为x元，∴销量减少x－2.50.1×0.2＝2x－5(万本)，【变式1】已知x1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[思路探索]先作差，然后因式分解变形．解x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2题型二比较大小【例2】＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34，∵x1，∴x－10，又∵x－122＋340，∴(x－1)x－122＋340，∴x3－12x2－2x.作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．解∵(a4＋b4)－(a3b＋ab3)＝a3(a－b)＋b3(b－a)＝(a－b)(a3－b3)＝(a－b)2(a2＋ab＋b2)＝(a－b)2a＋b22＋34b2≥0∴a4＋b4≥a3b＋ab3(当且仅当a＝b时，取“＝”).【变式2】已知a，b，c为实数，判断以下各命题的真假．(1)若ab，则acbc；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab0，则a2abb2；审题指导判断命题的真假，应紧扣不等式的性质，同时要注意条件和结论之间的联系．题型三不等式性质的应用【例3】(4)若cab0，则ac－abc－b；(5)若ab，1a1b，则a0，b0.[规范解答](1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，故该命题为假命题．(2)由ac2bc2知c≠0，∴c20，∴ab，故该命题为真命题(3)aba0⇒a2ab；又abb0⇒abb2，∴a2abb2，故该命题为真命题．(4)∵ab0，∴－a－b，∴c－ac－b，又∵cab0，∴1c－ac－b0，在c－ac－b两边同乘1c－ac－b，所以该命题为真命题；(5)由已知条件知ab⇒a－b0，∵a－b0，∴b－a0，∴ab0.又ab，∴a0，b0，故该命题为真命题．故（2）（3）（4）（5）为真命题【题后反思】利用不等式的性质进行不等式的证明时，一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题时要灵活、准确地加以应用．又1a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0，【变式3】判断下列各命题是否正确，并说明理由．(1)若cacb且c0，则ab；(2)若ab0且cd0，则adbc；(3)若ab，ab≠0，则1a1b；(4)若ab，cd，则acbd.解(1)cacbc0⇒1a1b，但推不出ab，(1)错．(2)ab0cd0⇒adbc0⇒adbc成立，(2)对．(3)错．例如，当a＝1，b＝－1时，不成立．(4)错．例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立．设f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．误区警示运用不等式性质不当致错【示例】[错解]由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4.得32≤a≤3，12≤b≤1.所以4≤f(－2)＝4a－2b≤11，即4≤f(－2)≤11.在求解某些有关联的未知数的范围时，因多次使用不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)导致所给变量的范围改变，从而出现错误．[正解]法一(待定系数法)设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.又因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即5≤f(－2)≤10.所以m＋n＝4，－m＋n＝－2.解得m＝3，n＝1.法二(换元法)设s＝a－b，t＝a＋b.则a＝s＋t2，b＝t－s2.所以f(－2)＝4a－2b＝2(s＋t)－(t－s)＝3s＋t，而1≤s＝a－b≤2,2≤t＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.要求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，利用性质时，必须步步有据，避免改变代数式的取值范围．