函数的单调性与曲线的凹凸性(1)

二曲线的凹凸性与拐点2.4函数的单调性与曲线的凹凸性一单调性的判别法（一）问题的提出xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA若在区间（a,b)上单调上升)(xfy若在区间（a,b)上单调下降)(xfy0)(xf一单调性的判别法（二）单调性的判别法定理.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1.),(],[)(上单调减少在，那末函数内如果在上单调增加；在，那末函数内如果在）（内可导上连续，在在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy证),,(,21baxx,21xx且应用拉氏定理,得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy例1解.]20[sin上的单调性，在判断函数xxy.0cos1xy.函数单调增加123456123456例2解.的单调性判断函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注1:要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又-3-2-11232345注2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．（三）单调区间求法1、单调区间定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf2、单调区间的划分例3解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[例4解.)(32的单调区间确定函数xxf).,(函数的定义域为)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x时，当0x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[32xy（四）单调性的应用例5证.132,1成立试证时当xxx)1(111)(22xxxxxxf则,0)(),1(,),1[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；故在),1[,0)1(f时，当1xxxxf132)(设0)(xf.132,1成立时当xxx只有一个实根。试证例xxsin60:x观察法解：先证存在性01cos)(xxfxxxfsin)((设应用单调性）再证唯一性（五）小结与思考判断题1函数单调性定义2函数单调性判定4函数单调性应用证明不等式证明根的唯一性3单调区间的划分思考判断题2若，则在原点的充分小的邻域内单调递增0)(xf)(xf1区间内个别点导数为零,影响区间的单调性.3单调函数的导函数仍是单调函数。二曲线的凹凸性（一）复习前面所学知识（二）授课内容：1、凹凸性定义2、拐点及其求法（三）小结与思考判断题凹凸拐点总结复习（一）问题的提出问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方221xx221xx)2(21xxf)2(21xxf2)()(21xfxf2)()(21xfxfABMN;),()(,2)()()2(,,),(,),()(212121内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设baxfxfxfxxfxxbabaxf;),()(,2)()()2(,,),(212121内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对baxfxfxfxxfxxba（二）曲线凹凸的定义xyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。车轨(三)曲线凹凸的判定xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理1.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf分析：任取两点)(,2121xxxx证明：1）要证2)()()2(2121xfxfxxf即证0)]2()([)]2()([212211xxfxfxxfxf2)()2)(()2()(),2,(21121112112111xxfxxxfxxfxfxxx2)()2)(()2()(),,2(12221222122212xxfxxxfxxfxfxxx两式相加为：2)]()([)]2()([)]2()([1212212211xxffxxfxfxxfxf即证：)(0)()(2112ff事实上：),()()()(2112fff而0)(f同理可证明2）例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,放大图象(四)曲线的拐点及其求法1定义注1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线..)()(点的分界点叫做曲线的拐凹弧与凸弧）的图形上凸弧与凹弧（上连续，我们把在区间设函数xfyIxf.))(,200不同于极值点的表示来表示的，、拐点是用坐标（注xfx定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.证2拐点的必要条件时，图形是凹弧，当即对分界点的不妨设它是凹弧与凸弧是拐点000),(.,,))(,(xxbaxxfx.0)(xf递增；所以)(xf时，图形是凸弧，当0xx.)(递减所以xf.)(的极大值点递减的分界点，也就是xf递增与是函数因此点)(0xfx由可导函数取得极值的条件，;))(,(,)()3(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx3拐点的求法步骤：);()1(xf求0,0)()2(xxf点找出实根和二阶不可导令.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在注意：若xfyxfxxf例2.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为.)(,)(32间和拐点和极值点，以及凹凸区增减的区间求、设例xfexfyx），由，解：函数的定义域为（;0,0212xyxeyx得驻点及22,0),12(23,222xyxeyx得及-2-1120.20.40.60.81x),22()22,0(0)(xf)(xf00凹、降凸、降拐点22)(xf极大值212e2x)(xf)(xf)(xf)22,(0拐点22212e)0,22(002凹、升凸、升例4.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy凹凸性的定义;曲线的弯曲方向拐点的定义;改变弯曲方向的点凹凸性的判定.拐点的求法返回(五)小结与思考判断题.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf思考判断题缩小图象