初数学平行线分线段成比例定理

初二数学【教学进度】几何第二册第五章§[教学内容]平行线分线段成比例定理[重点难点剖析]一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的基本图形∵l1∥l2∥l3∴DFEFACBCDFDEACABEFDEBCAB①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。②为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：EFDEBCAB，可以说成“上比下等于上比下”DFDEACAB，可以说成“上比全等于上比全”DFEFACBC，可以说成“下比全等于下比全”等2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形LLL图1-（1）CFABEDFC图1-（2）3ED12BAF3LC图1-（3）2LL1BEA图1-（4）FL3CL2L1BDA3L2LL1(D)(E)ABCDEFl123ll图3图4ADBCE图5CBEFGAD∵DE∥BC∴ACCEABDBACAEABADECAEDBAD①图2—（1），图2—（3）称为“A”型，图2—（2）称为“X”型②推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3．三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。（1）这个定理可以用来判定两条直线平行。（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。4．平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图3，其中AB=BC，DE=EF，则1EFDEBCAB，但L1、L2、L3不平行。5、三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6），这个定理也叫做相似三角形预备定理①DE∥BCACAEBCDEABAD这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。②当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定理也成立。③图4是最基本的“A”型，课本例6中有“A”型时常作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。[典型例题]例1、如图5，在△ABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，AD与BE交于点F，若AE:EC=3:4，BD:DC=2:3，求BF:EF的值。分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线——平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过E作EG∥BC交AD于G，则在△ADC中，ACAEDCGE又∵43ECAE∴73ACAE∴73DCEG极EG=3X，DC=7X（X0），则∵32DCBD∴DB=xxDC31473232∴9143314xxEGBDADEBCEDABCABCDE图2-(1)图2-(2)图2-(3)ABCDEF图6FC图11BDEAMN又∵EG∥BC，∴914EGBDFEBF例2、如图6，DE∥AB，EF∥BC，AF=5cm,FB=3cm,CD=2cm,求BD。分析根据条件可知BDEF为平行四边形，由EF∥BC，应用相似三角形的预备定理，得BCEFABAF再应用比例性质，即可求出EF即BD。解：∵DE∥AB，EF∥BC∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD=EF又∵EF∥BC，∴BCEFABAF∴DCBDBDBFAFAF∴2355BDBD解之，得BD=310（cm）例3、如图7，A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED、BC∥FE。求证：AFODOFOCOAODOBOEOAOEOCOFOBOEOBODOAOEOBOFOCOFOCODOAODOFOCOAEMDEAMCDFMCFMBCDFMCFEMDE,,,CBACCBBAA////CCBBAA111AACC//BACBAACCBBCC//ABCABBCC1ABCACBABCABACBBBCCAACCCCBBAA111CCBBAA1111BBCCAACC1ABADBFBCBEDEABADBFCBBEDB1BEDEBEDBABADBFBC1ABADBFBCECFCEMBFCEFCAEENAEFNEMBFbaba1cabcbacadbdcbadbcadcba以点A为端点，作射线AM2.在AM上顺次截AD=2a，DE=3a（a为任意长）3.连结BE，过点D作DC//BE交AB于C，则点C即为所求[练习与测试]1．如图△ABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE//BC，EF//AB，AD=9，EF=6，CF=5，则BF=2．直线DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，且AD=4cm，AE=6cm、AB=12cm，AC=那么DE//BC3．如图DE//BC32DBAD，那么ECAC=BCDE图7COBAFDED图8CMAEFB图9ACBACBF图10CBEAD图122aADC3aBEM(第1题)BDCFEA(第3题)CEABD(第4题)BAFCEDDABO(第5题)CE(第6题)GACEBHFDNEFADBC（第13题（2）—③）M（第13题（2）—②）ADEFCBMN（4．如图在ABCD中，E在AD上，且4AE=5DE，CE交BD于F，则DFBF5．如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于O，CE//AB交BD的延长线于E，若OB=6，OD=3，则DE=6．如图，已知DC//EF//GH//AB，AB=30，CD=6，且DE：EG：GA=1：2：3，则EF=GH=7．如图，在ABCD中，O1、O2、O3分别为对角线BD上三点，且BO1=O1O2=O2O3=O3D，连结AO1，并延长交BC于E，连结EO3，并延长交AD于点F，则AD：FD=8．图，GBAFll52,//21，BC=4CD，若AE=kEC，则k=9．如图，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，52ACAEABAD，AC=10，求DE10．如图，CD是△ABC中，E为AC的中点，D为BC上的点，且BD=AB，求证：GDAGABBC11．已知，C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边，在AB的同侧作两个等边三角形ACD和BCE，AE交CD于F，BD交CG于G，求证FG//AB12．已知，BD为△ABC的角平分线，DE//BC，交AB于E，求证：DEBCAB11113．已知，如图（1），梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别在AB、CD上，且EF//BC，EF分别交BD、AC于M、N。①求证ME=NF②当EF向上平移图（2）各个位置其他条件不变时，①的结论是否成立，请证明你的判断。[练习与测试参考解答或提示]1．215；2．18cm；3．52,35；4．9：4；5．9；6．10，18；7．9：1；8．2；9．610．提示，过D作DH//AC交BG于H点，则DHAEGDAG，DHECBDBC，又AE=EC，BD=AB，即可得结论。11．略证，由∠DCA=∠EBA=600，有CD//BE，则CGEGCDBE，同理ADCEAFEF，而EB=CE，CD=AD，则AFEFCGEG，所以FG//AB12．略证，由DE//BC，有∠EDB=∠DBC，ABAEBCDE，又∠ABC=∠DBC，所以∠EDB=∠ABD，则BE=DE，所以1ABABABAEABBEBCDEABDE13．①由AD//EF//BC，有ADNFCDCFABBEADEM，EM=NF②仍成立，证明同①。(第7题)EOB1A2OCOF3DECG(第8题)BFADl2l1(第9题)BDCEAADEBCG(第10题)DAEFNMBC(第13题（1）)（第13题（2）—①）ADBC（N）MEF