第3章--工程制图点、直线、平面的投影

概述第3章点、直线、平面的投影VA§3.1点的投影一、点的两面投影axaa'A1A2XOaa'ax证明投影规律：aa'OXaax=Aa'a'ax=AaXO点的投影VXOa'ab'bc'cABC例题3-1：根据投影图判断点在空间的位置二、点的三面投影1.三面投影体系2.点的三面投影XOZYHYWaa'axaaYHaYw点的三面投影规律：a'aOZaYHO=aYwOaa'OX3.点的投影与坐标的关系XYZ（X，Z）(X,Y)（Y，Z）V45°例题3-2：画出点（15，5，10）的三面投影及空间位置XOZYHYWa'aaaa’aAXZYHYWa'a例3-3：根据点的两面投影求第三投影45°a辅助线45°b'bbeee'cc'cd'ddf'ffg'gg三、两点的相对位置1.相对位置的判定XOZYHYWa'aab'bbd'ddb'bba'aac'ccXOZYHYW(b)(d')不可见者用括号表示2.重影点及其投影的可见性aaabbb●●●●●●§3.2直线的投影确定：将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线与投影面的相对位置AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●XZOYHYw一、各种位置的直线投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面baababbaabba⑴投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实形。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabb反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)VHX1V1二、一般位置直线的实长及对投影面的倾角ax1cx1换面法：a1'b1'c1'k'kbx1axa'ab'bbxc’cKACB旋转法：原则：1有利于解题2新投影面垂直与原有的一个投影面15Vxo求直线的实长及对水平投影面的夹角角|ZA-B|ABab|ZA-B|AB|ZA-B|ab|ZA-B|ABa'b′BAbaxobaa'b′A116求直线的实长及对正面投影面的夹角角AB|YA-B|ABAB|YA-B|返回Vxoa′b′BAbaa'b'|YA-B|b′a′baxoB1|YA-B|a'b'17求直线的实长及对侧面投影面的夹角角返回◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。三、直线上的点AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理oX点C不在直线AB上例题判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上xxoo例题判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在ab上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?x四、两直线间的相对位置关系空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉⒈两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbdaHVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点dbaabcdc'1(2)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●34●●两直线相交吗？abcdcabd例：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①xbdcacbaddbac对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影ox思考：如果给出CD的长度，解题过程有何变化？定理：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。设因直角边BC//H面BC⊥ABBC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面BC∥bcABCabcHacbabc.证明：4.两直线垂直（直角投影定理）AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有abmn交叉垂直的两直线的投影例过点A作EF线段的垂线ABbb′xoe′f′a′efa例过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f′exoa′b′c′d′e′abcdf§3.3平面的投影一、平面的表示方法1、几何元素表示法：●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形xxxxxooooo2、迹线表示法指平面与投影面的交线33PPVPHPVPHQVQHQHQVQ投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面二、各种位置的平面OXZYHYWaaa'b'bbc'cc在三个投影面上的投影都是类似形，不直接反映与投影面的夹角。1、一般位置面abcacbcba2投影面垂直面类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在平面垂直的投影面上的投影积聚成直线段。该直线段与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小实形。另外两个投影面上的投影是类似形。为什么？γβ是什么位置的平面？37铅垂面迹线表示法PHPPHabcabcabc3.投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在平面所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线段。三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法判断方法一：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。判断方法二：若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。（一）平面上的点和直线例题：已知平面ABC内的点D的正面投影，求其水平投影。a'b'c'abcd'd例题：判定点K、E点是否在平面ABC内。a'b'c'abce'ek'k不在！在！平面是可以无限延伸的例题：完成平面ABCD的投影。abcda'b'c'od'（二）平面上的投影面平行线特点：1在平面上2具有平行线的投影特征例题：在平面内画出水平线、正平线和侧平线a'b'c'abc在平面上可以画出许多条正平线，但方向是一致的。一般位置平面内平行线的空间形态一般位置平面内投影面的平行线的空间形态abcbcaabcbcadmnnmd例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据方法二根据方法一有多少解？有无数解。xxoo例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？ox先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●面上取点的方法：首先面上取线②●abca'bkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解xxbckadadbcadadbckbc例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一解法二xx3.4直线与平面及平面与平面的位置关系一、直线与平面、平面与平面平行如果一条直线平行于平面内的任意一条直线，则该直线与该平面互相平行。1.直线与平面相互平行2、两平面相互平行几何条件：一平面内的两相交直线分别与另一平面内的两相交直线平行。几何条件：一直线只须平行于平面上一直线，直线则平行于该平面。1、直线与平面平行PPT例题一例题3.4.1：过点A作一水平线AB,使其与平面ECD平行。b'ba'aXOecdd'e'c'例题二例题3.4.2：判定直线AB与平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xa'ab'b1.直线与平面平行在平面所垂直的投影面上，直线的投影平行于平面的积聚性投影。2.平面与平面平行在平面所垂直的投影面上，两平面的积聚性投影相互平行。cdBMNam(n)bAEfeCDF直线与平面平行bcdEahHBfeDCAF平面与平面平行特殊情况----平行例题三例题3.4.3：判定直线AB,与平面ECD是否平行。Oee'cc'dd'Xb'ba'a例题四例题3.4.4：过点C作一平面平行于直线AB。c'c平行于一条直线的平面可以有无数个OXb'ba'a二.直线与平面相交、平面与平面相交1、共有点：既属于直线又属于平面2、可见性：重影点（一）直线与平面相交abcmncnbam⑴平面为特殊位置例求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●xkm(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法xc'ee'cdd'方法一：利用积聚性求交点k'k当相交的两个元素中有一个是特殊位置时，从有积聚性的投影下手解题OXb'ba'(a)⑵直线为特殊位置km(n)b●mncbaac(3)直线为特殊位置空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法x(二)、两平面相交（利用积聚性求交线）两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要解决的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。M平面与平面相交两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有FKNL可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？例3.4.5：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面