分配问题与匈牙利法

Page1分配问题与匈牙利法指派问题的数学模型的标准形式：设n个人被分配去做n件工作，规定每个人只做一件工作，每件工作只有一个人去做。已知第i个人去做第j件工作的效率（时间或费用）为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij≥0。问应如何分配才能使总效率（时间或费用）最高？设决策变量),...,2,1,(ji0ji1njixij件事个人做第不指派第件事个人做第指派第Page2分配问题与匈牙利法指派问题的数学模型为：)..2.1,1(0)..2.1(1)..2.1(1min1111njixnjxnixxcZijniijnjijninjijij或取Page3分配问题与匈牙利法克尼格定理:如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别减去(或加上)一个常数ui，从每一列中分别减去(或加上)一个常数vj，得到一个新的效率矩阵[bij]，则以[bij]为效率矩阵的分配问题与以[aij]为效率矩阵的分配问题具有相同的最优解。Page4分配问题与匈牙利法指派问题的求解步骤：1)变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素；再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。2)进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。Page5分配问题与匈牙利法找独立0元素，常用的步骤为：从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎。然后划去◎所在列的其它0元素，记作Ø；这表示该列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一行。从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø，表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到最后一列。若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。Page6分配问题与匈牙利法若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n（即：m＝n），那么这指派问题的最优解已得到。若mn,则转入下一步。3)用最少的直线通过所有0元素。其方法：①对没有◎的行打“√”；②对已打“√”的行中所有含Ø元素的列打“√”；③再对打有“√”的列中含◎元素的行打“√”；④重复①、②直到得不出新的打√号的行、列为止；⑤对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就得到覆盖所有0元素的最少直线数l。注：l应等于m，若不相等，说明试指派过程有误，回到第2步，另行试指派；若l＝mn，表示还不能确定最优指派方案，须再变换当前的系数矩阵，以找到n个独立的0元素，为此转第4步。Page7分配问题与匈牙利法4)变换矩阵(bij)以增加0元素在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。Page8分配问题与匈牙利法例4.6有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？任务人员ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982Page9分配问题与匈牙利法解：1）变换系数矩阵，增加0元素。2142289541013895421176)(ijc0673390245100954－501733402401004542）试指派（找独立0元素）17334241454◎◎◎ØØ找到3个独立零元素但m=3n=4Page10分配问题与匈牙利法3）作最少的直线覆盖所有0元素17334241454◎◎◎ØØ√√√独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3n=4；4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派Page11分配问题与匈牙利法6244251343000000试指派6244251343◎◎◎ØØ◎得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：0100001000011000即完成4个任务的总时间最少为：2＋4＋1+8=15Page12分配问题与匈牙利法例4.7已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。任务人员ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119Page13分配问题与匈牙利法解：1）变换系数矩阵，增加0元素。7942911871316149151441041315224241047501110062111300010235096060713000102350960607130◎Ø◎ØØ◎◎2）试指派（找独立0元素）独立0元素的个数为4,指派问题的最优指派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作，丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11＝28。Page14分配问题与匈牙利法例4.8已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。任务人员ABCDE甲759811乙9127119丙85468丁73696戊467511Page15分配问题与匈牙利法43475115764696379645891171291189577132036304520142405263402-1-2解：1）变换系数矩阵，增加0元素。Page16分配问题与匈牙利法50320153043101403052424025032015304310140305242402◎Ø◎◎◎ØØ2）试指派（找独立0元素）独立0元素的个数l＝45，故画直线调整矩阵。Page17分配问题与匈牙利法5032015304310140305242402◎Ø◎◎◎ØØ√√√选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变。Page18分配问题与匈牙利法5033004203310240306231301◎Ø◎Ø◎Ø◎Ø√√√√√√√l=m=4n=5选择直线外最小元素为1，直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变，得到新的系数矩阵。Page19分配问题与匈牙利法6044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎总费用为=5+7+6+6+4=28注：此问题有多个最优解Page20分配问题与匈牙利法6044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎总费用为=7+9+4+3+5=28Page21分配问题与匈牙利法6044003202300230206130300◎ØØ◎ØØ◎Ø◎Ø◎总费用为=8+9+4+3+4=28Page22分配问题与匈牙利法课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。7910121312161715161415111215163821038729764275842359106910练习1：练习2：Page23分配问题与匈牙利法79101213121617151614151112151638210387297642758423591069104821答案：Page24分配问题与匈牙利法非标准型的指派问题：匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。Page25分配问题与匈牙利法1.最大化指派问题处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。例4.9某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。88809086907983829578879590739285丁丙乙甲＝CPage26分配问题与匈牙利法解:M＝95，令)95(ijcC71559516121301780522310＝C用匈牙利法求解C’，最优解为：0100100000010010＝X即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项,最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357Page27分配问题与匈牙利法2.不平衡的指派问题当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如：123546171483611109500000000001235461714836111095当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如171613107456910201500001716131074569102015Page28分配问题与匈牙利法3.一个人可做几件事的指派问题若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值相同。例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。1716131074569102015丙乙甲171613101716131074569102015Page29分配问题与匈牙利法4.某事一定不能由某人做的指派问题将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。例4.10分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成。试确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。任务人员ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345Page30分配问题与匈牙利法解:1)这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利法求解。2)由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：任务人员ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊0000MPage31分配问题与匈牙利法用匈牙利法求出最优指派方案为：0010000001100000100000010即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A,任务C放弃。最少时间为105。