阿基米德三角形性质与高考题

阿基米德三角形性质与高考题性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴即：)2,2(2121yypyyQ19．（07年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0)Cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于AB，两点．一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于点PQ，．（1）若2OBOA，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．解：（1）设直线AB的方程为ykxc，将该方程代入2yx得20xkxc．令2()Aaa，，2()Bbb，，则abc．因为2222OAOBababcc，解得2c，或1c（舍去）．故2c．（2）由题意知2abQc，，直线AQ的斜率为22222AQacaabkaababa．又2yx的导数为2yx，所以点A处切线的斜率为2a，因此，AQ为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：ABCPQOxylABCPQOxyloyxQBFA设0()Qxc，．若AQ为该抛物线的切线，则2AQka，又直线AQ的斜率为2200AQacaabkaxax，所以202aabaax，得202axaab，因0a，有02abx．故点P的横坐标为2ab，即P点是线段AB的中点．性质2：2||||||QFBFAF例7．（13广东）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点0,0Fcc到直线l:20xy的距离为322.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线,PAPB,其中,AB为切点.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)当点00,Pxy为直线l上的定点时,求直线AB的方程；(Ⅲ)当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值.性质3：QFBQFA22．（05江西）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.22．解：（1）设切点A、B坐标分别为))((,(),(0121120xxxxxx和，∴切线AP的方程为：;02200xyxx切线BP的方程为：;02211xyxx解得P点的坐标为：1010,2xxyxxxPP所以△APB的重心G的坐标为PPGxxxxx310，xyoQBMFAoyxEB'A'QBMFA所以243GGpxyy，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：（2）因为).41,(),41,2(),41,(2111010200xxFBxxxxFPxxFA由于P点在抛物线外，则.0||FP∴,||41)41(||)41)(41(2||||cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP同理有,||41)41(||)41)(41(2||||cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFPBFP∴∠AFP=∠PFB.性质4：过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为2p（21）（06年全国卷2）已知抛物线24xy的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且(0).AFFB过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明.FMAB为定值；（II）设ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。xyoMBFAM'