阿基米德三角形(与圆锥曲线结合)

1高考数学与阿基米德三角形一、主要概念及性质1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有：2、主要性质：性质1阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。证明：设1122(,),(,)AxyBxy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为11()yypxx，过B的切线方程为：22()yypxx，联立方程组得：1122211222()()22yypxxyypxxypxypx解得两切线交点1212,22yyyyQp，进而可知QMx轴。性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。证明：设(,)Qxy，由性质1，1212,22yyyyxyp，所以有122yypx。由,,ABC三点共线知10122221210222yyyyyyyxppp即221121020102yyyyxyxypy将1212,22yyyyypx代入得00()yypxx即为Q点的轨迹方程。性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。证明：设l方程为0axbyc，且1122(,),(,)AxyBxy，弦AB过点00(,)Cxy，由性质2可知Q点的轨迹方程为00()yypxx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得200,cbpxyaa，即弦AB过定点,cbpCaa。性质5：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap。证明：ABa，设Q到AB的距离为d，由性质1知22212121212122()22444xxyyyyyyyydQMpppp设直线AB的方程为xmyn，则2221(1)()amyy，所以2322121()428aayyadsadpp。性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p。证明：由性质2，若底边过焦点，则00,02pxy，Q点的轨迹方程是2px，即为准线；易验证1QAQBkk，即QAQB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点。所以221212122224242yyxxyypppQMppp而212121()2QABSQMyyQMyyp性质7：在阿基米德三角形中，QFAQFB。证明：如图，作AA准线，BB准线，连接,,,,AQQBQFAFBF，则1FAykp，显然1FAQAKk，所以FAQA，又因为AAAF，由三角形全等可得QAAQAF，所以,QAAQAFQAQFQAAQFA同理可得,QBQFQBBQFBQAQBQABQBA所以009090QAAQABQBAQBBQFAQFB性质8：2AFBFQF3证明：2121212()2224ppppAFBFxxxxxx22221212244yyyypp而222222212121212222244yyyyyyyyppQFAFBFppp性质9QM的中点P在抛物线上，且P点处的切线与AB平行。证明：由性质1知12121212,,,2222yyyyxxyyQMpp，可得P点坐标为21212(),82yyyyp，此点显然在抛物线上；过P点的切线斜率为121222ABppkyyyy，结论得证。二、例题解析1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）设点00(,)Pxy在直线(,01)xmymm上，过点P作双曲线221xy的两条切线PAPB、，切点为A、B，定点1(,0)Mm.（1）求证：三点AMB、、共线。（2）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在曲线方程.42．（2008年山东卷理科第22题）如图，设抛物线方程为22(0)xpyp，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为AB，．（Ⅰ）求证：AMB，，三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为(22)p，时，410AB．求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpyp上，其中，点C满足OCOAOB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．yxBAOM2p53．（2007年江苏卷理科19题）如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,PQ，（1）若2OAOB，求c的值；（5分）（2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；（5分）（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）4．（2005年江西卷理科22题）如图，设抛物线2:xyC的焦点为F，动点P在直线02:yxl上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程.（2）证明∠PFA=∠PFB.65．（2006年全国卷2理科第21题）已知抛物线24xy的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且(0).AFFB过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（I）证明.FMAB为定值；（II）设ABM的面积为S，写出()Sf的表达式，并求S的最小值。广东模考试题719.（本小题满分14分）2010届广州二模已知抛物线C:22xpy0p的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为1l、2l，且12ll，1l与2l相交于点D.(1)求点D的纵坐标；(2)证明：A、B、F三点共线；(3)假设点D的坐标为3,12，问是否存在经过A、B两点且与1l、2l都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.818.(本题满分13分)2009韶关一模已知动圆过定点(0,2)N，且与定直线:2Ly相切.（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且ANNB.分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明ABNQ为定值.920．（本小题满分14分）2010年深圳市高三年级第二次调研考试数学已知抛物线C：24xy的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率32e．（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线1l、2l，切线1l与2l相交于点M．证明：MFAB；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．BFAM图6xyO