高中数学-函数数形结合典例及练习

1高中数学-函数经典解题方法--数形结合实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()xy21422代表圆。一、图形的交点例1.已知，则方程的实根个数为01aaxxa|||log|()A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa|||log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例2.解不等式xx2令，，则不等式的解，就是使的图象yxyxxxyx121222在的上方的那段对应的横坐标，yx2如下图，不等式的解集为{|}xxxxAB而可由，解得，，，xxxxxBBA222故不等式的解集为。{|}xx22练习：设定义域为R函数1011lg)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）0,0.0,0.0,0.0,0.cbDcbCcbBcbA答案C二、绝对值的几何意义例1、已知0c，设P：函数xcy在R上单调递减，Q：不等式12cxx的解集为R，如果P与Q有且仅有一个正确，试求c的范围。2因为不等式12cxx的几何意义为：在数轴上求一点)(xP，使P到)2(),0(cBA的距离之和的最小值大于1，而P到AB二点的最短距离为12cAB，即21c而P：函数xcy在R上单调递减，即1c由题意可得：1210cc或三、二次函数例、已知关于x的方程mxx542有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设myxxy221,54。又1y为偶函数，由图可知51m四、反函数的性质例、方程3log,322xxxx的实根分别为21,xx，则21xx=解：令xyxyyx3,log,2322121,yy互为反函数，其图象关于xy对称，设)3,(),3,(2211xxBxxA213xx即321xx六、斜率公式3例1.求函数的值域。yxxsincos22yxxyyyxxsincos222121的形式类似于斜率公式yxxPPxxsincos()(cossin)22220表示过两点，，，的直线斜率221Pxy由于点在单位圆上，如图,显然，kykPAPB00设过的圆的切线方程为Pykx022()则有，解得±||22114732kkk即，kkPAPB00473473∴473473y∴函数值域为，[]473473例2、实系数方程022baxx的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求12ab的取值范围。解：数形结合由12ab的结构特征，联想二次函数性质及12ab的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。令baxxxf2)(2，则由已知有0)2(0)1(0)0(fff得到020210babab这个二元一次不等式组的解为ABC内的点),(ba的集合由12ab的几何意义为过点),(ba和点)2,1(D的直线的斜率，由此可以看出：11241BDADkabk即12ab的取值范围是)1,41(。练习：如果实数、满足，则的最大值为xyxyyx()()2322答案DABCD....1233323五、两点间的距离公式例、设baRbaxxf且,,1)(2，求证：babfaf)()(4解：,ba不妨设ba，构造如图的OAPRt，其中bOBaOAOP,,1则baABbfbPBafaPA),(1),(122在OAPRt中，有ABPBPAbabfaf)()(六、点到直线的距离公式例、已知P是直线0843yx上的动点，PBPA,是012222yxyx的两条切线，BA,是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。解：121222PCPAACPASSPACPACB要使面积最小，只需PC最小，即定点C到定直线上动点P距离最小即可即点C)1,1(到直线0843yx的距离，而3438241322d2213)(2minPACBS七、函数奇偶性例、设)(xfy是定义在R上的奇函数，且)(xfy的图象关于直线21x对称，则)5()4()3()2()1(fffff5解：若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知0)0(f，又且)(xfy的图象关于直线21x对称，0)1(f则奇函数可得：0)1(f，则又由对称性知：0)2(f同理：0)5()4()3(fff)5()4()3()2()1(fffff0八、其它简单方法：例的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于kkkxxx310322解：0)(32)(2xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0yfxf的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f，()()02bffka10(10)kk同时成立，解得，故，6数形结合课后练习（附答案）1.方程lgsinxx的实根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数yaxyxa||与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.()1，B.()11，C.(][)，，11D.()()，，113.设命题甲：03x，命题乙：||x14，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.若方程lg()lg()[]xxmx23303在，上有唯一解，求m的取值范围。5.设aa01且≠，试求下述方程有解时k的取值范围。log()log()aaxakxa222。练习答案1.C2.D提示：画出yaxyxa||与的图象情形1：aaa011情形2：aaa0113.A4.解：原方程等价于xxmxxxxmxxxmxxxm2222303003333003437令yxxym12243，，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03x，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或30m时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。5.解：将原方程化为：log()logaaxakxa22，∴xakxaxakxa222200，且，令yxak1，它表示倾角为45°的直线系，y10令yxa222，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）（a，0）的等轴双曲线在x轴上方的部分，y20∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知akaaak或0∴kk101或∴k的取值范围为()()，，101