概率论与数理统计3.3-二维随机变量函数的分布

3.3,...2,1,,),(jipyYxXPijji设(X,Y)为离散型随机变量，Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于不同的(xi,yj),g(xi,yj)的值互不相同,则Z的分布律为,...2,1,)),((jipyxgZPijji二维离散型随机变量函数的分布若对于不同的(xi,yj),g(x,y)有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和。例1.设（X,Y）联合概率分布如下,求Z1=X+Y,Z2=XY的概率分布。XY0101210110351101511011Z0123P10152521012Z012P53103101离散型卷积公式例2.设X和Y相互独立，其分布律为,...2,1,0,)()(,...2,1,0,)()(kkqkYPkkpkXP求Z=X+Y的分布律。kikikikiikqipikYPiXPikYiXPikYiXPkYXPkZP0000)()()()(),(},{)()(例3:设X,Y相互独立,且X~P(λ1),Y~P(λ2)证明:Z=X+Y~P(λ1+λ2),,2,1,0,!)(11kekkXPk证:,,2,1,0,!)(22kekkYPk)()(kYXPkZPZ=X+Y~P(λ1+λ2)),(0ikYiXPkikiikYiXP0),(kiikieikei02121)!(!kiikiikikek021)()!(!!!121kiikiikCek021)(21!1!)(21)(21kek例4.设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y),边缘分布密度分别为fX(x),fY(y),求Z=X+Y的分布密度。二维连续型随机变量函数的分布xyx+y=z解:yzzyxZdxyxfdydxdyyxfzYXPzZPzF),(),()()()(ytx令dtdyyytfdtyytfdyzFzzZ),(),()(yzzyxZdxyxfdydxdyyxfzYXPzZPzF),(),()()()(()()(,)ZZfzFzfxzxdx()(,)Zfzfzyydy若X、Y独立()()()ZXYfzfxfzxdx()()()ZXYfzfzyfydy连续型卷积公式例5.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。证：Z=X+Y~N(0,2)。222222()22()24()2()()()1122122ZXYxzxzxzxzzxfzfxfzxdxeedxedxeedxtzx2令222222()22()24()2()()()1122122ZXYxzxzxzxzzxfzfxfzxdxeedxedxeedx222222()22()24()2()()()1122122ZXYxzxzxzxzzxfzfxfzxdxeedxedxeedx222222()22()24()2()()()1122122ZXYxzxzxzxzzxfzfxfzxdxeedxedxeedxdteetz22244422212zzeeX~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)Z1=X+Y~N(μ1+μ2,σ12+σ22)X与Y相互独立Z2=aX+bY~N(aμ1+bμ2,a2σ12+b2σ22)例6.设(X,Y)的联合分布密度为的概率密度求YXZ2解:301,02(,)20,xxyxfxy，其它zyxZdxdyyxfzYXPzF2),()2()(当z≤0,FZ(z)=0,当z≥2,FZ(z)=1,当0z2时,312/2016143231)(zzxdydxzFzzxZ其它,0,20,16343)()(2zzzFzfZZ例7.若X~N(0,1),Y~N(0,1)，X与Y独立。的概率密度求22YXZ解:2221(,),(,)2xyfxyexy22()()()ZFzPZzPXYz当z0,显然FZ(z)=0,当z≥0,22222222221()21cos,sin)2xyZxyzrzrzFzedxdyerdrdxryrredr2000(令22,0()0,zZzezfz其它22222222221()21cos,sin)2xyZxyzrzrzFzedxdyerdrdxryrredr2000(令22222222221()21cos,sin)2xyZxyzrzrzFzedxdyerdrdxryrredr2000(令22222222221()21cos,sin)2xyZxyzrzrzFzedxdyerdrdxryrredr2000(令例8.某元件由两个相互独立的元件A1,A2连接而成，其连接方式分别为：S1:串联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从指数分布。求两种系统S1,S2的寿命的概率密度函数。A1A2S2A1A2S1解:0,00,1)(xxexFxX0,00,1)(xxeyFyY(1)系统S1的寿命M=max(X,Y))),(max()()(zYXPzMPzFM)()()()(),(zFzFzYPzXPzYzXPYX0,00),1)(1()(zzeezFzzM0,00,)()()()(zzeeezFzfzzzMM(2)系统S2的寿命N=min(X,Y))),(min(1)(1)()(zYXPzNPzNPzFN)](1)][(1[1)()(1),(1zFzFzYPzXPzYzXPYX0,00,1)()(zzezFzN0,00,)()()()(zzezFzfzNN