弧长和扇形面积专题

-1-培优训练之《弧长和扇形面积》专题知识点回顾：1.半径为r的圆，n°的圆心角所对的弧长为，圆心角为n°的扇形的面积为，若扇形弧长为l,则扇形面积为.2.底面圆半径为R，母线为L的圆锥的侧面积为：，全面积为：.一、课前预习(5分钟训练)1.在半径为1的⊙O中，1°的圆心角所对的弧长是___________.2.⊙O中，半径r=30cm，弧AB的长度是8πcm，则弧AB所对的圆心角是____________.3.在半径为6cm的圆中，圆心角为40°的扇形面积是___________cm2.4.扇形的面积是5πcm2，圆心角是72°，则扇形的半径为____________cm.二、课中强化(10分钟训练)1.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB的长是()A.6B.4C.3D.22.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π，则该圆的半径r等于()A.7B.8C.9D.103.如果扇形的圆心角为150°，扇形面积为240πcm2，那么扇形的弧长为()A.5πcmB.10πcmC.20πcmD.40πcm4.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km，一列火车以28km/h的速度经过10s通过弯道，那么弯道所对的圆心角的度数为______________度.(π取3.14，结果精确到0.1度)5.如图24-4-1-1，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为.图24-4-1-1-2-三、课后巩固(30分钟训练)1.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是__________.图24-4-1-32.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？3.如图24-4-1-5,正△ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积.图24-4-1-54.如图24-4-1-6,Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积.图24-4-1-6-3-5.半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为()A.6πcm2B.5πcm2C.4πcm2D.3πcm26.如图24-4-1-7，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是…()A.4πB.2πC.34πD.π图24-4-1-7图24-4-1-87.如图24-4-1-8,扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=________________度.8.如图24-4-1-9，它是由两条直线和中间半圆形弯道组成的.若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1.22米，则外跑道的起点应前移多少米?(π取3.14，结果精确到0.01米)图24-4-1-99.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交AB于P，求AB与半圆弧及MP围成的阴影部分面积阴S。例4图21OQMPBA-4-参考答案知识点回顾：1、180rn，3602Rn，21lr2、，一、课前预习(5分钟训练)1.在半径为1的⊙O中，1°的圆心角所对的弧长是___________.思路解析：半径为1的⊙O的周长为2π，所以1°的圆心角所对的弧长是180.答案：1802.⊙O中，半径r=30cm，弧AB的长度是8πcm，则弧AB所对的圆心角是____________.思路解析：套公式l=180rn,建立方程8π=180n·30,解得n=48°.答案：48°3.在半径为6cm的圆中，圆心角为40°的扇形面积是___________cm2.思路解析：利用公式S=3602Rn得S=3603640=4π.答案：4π4.扇形的面积是5πcm2，圆心角是72°，则扇形的半径为____________cm.思路解析：因为S扇形=360nπR2，所以R=nS360=725360=5cm.答案：5二、课中强化(10分钟训练)1.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB的长是()A.6B.4C.3D.2思路解析：易知△OAB是等边三角形，故圆心角是60°.答案：C2.已知100°的圆心角所对的弧长l=5π，则该圆的半径r等于()-5-A.7B.8C.9D.10思路解析：利用l=180rn，建立方程5π=100180r,解得r=9.答案：C3.如果扇形的圆心角为150°，扇形面积为240πcm2，那么扇形的弧长为()A.5πcmB.10πcmC.20πcmD.40πcm思路解析：由360150πr2=240π，解得r=24.又由S=21lr，得240π=21l×24，得l=20πcm.答案：C4.一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km，一列火车以28km/h的速度经过10s通过弯道，那么弯道所对的圆心角的度数为______________度.(π取3.14，结果精确到0.1度)思路解析：由弧长公式得28×360010=1802n，解得n=7≈2.2.答案：2.25.如图24-4-1-1，三个圆是同心圆，图中阴影部分的面积为.图24-4-1-1思路解析：三个阴影部分可拼成一个圆心角为90°，半径为1的扇形，求这个扇形的面积即可.答案：4三、课后巩固(30分钟训练)1.如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积是__________.图24-4-1-3-6-思路解析：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，则把阴影部分拼在一起构成一个大半圆如图，所以阴影部分的面积为21π×22=2π.答案：2π2.如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？考点：[平面展开-最短路径问题,圆锥的计算]分析：易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，再利用等腰三角形的性质求得相应线段即可．解答：圆锥的底面周长=2π×1=2π，设侧面展开图的圆心角的度数为n.∴nπ×3180=2π，解得n=120∘，所以展开图中∠DAC=120∘÷2=60∘，根据勾股定理求得：AD=32,CD=33√2，所以蚂蚁爬行的最短距离为BD=33√2.3.如图24-4-1-5,正△ABC内接于⊙O，边长为4cm，求图中阴影部分的面积.图24-4-1-5-7-思路分析：题图中阴影部分为弓形，因此应求出扇形AOC的面积和△AOC的面积，所以关键是求圆心角及⊙O的半径.本题考查组合图形的求法.扇形面积公式等.解：连结OA、OC.连结BO，并延长交AC于E，则BE⊥AC，AE=21AC=2cm.∵△ABC为正三角形，∴∠AOC=3360=120°，∠AOE=60°.在Rt△AEO中，OA=60sinAE=232=334(cm)，OE=21OA=332(cm)，∴S扇形AOC=3602Rn=360120·(334)2=916，S△AOC=21AC·OE=21×4×332=334.∴S阴影=S扇形AOC－S△AOC=(916－334)cm2.4.如图24-4-1-6,Rt△ABC的斜边AB=4，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D、E，求图中阴影部分的面积.图24-4-1-6思路分析：阴影部分面积可以看成是一个小直角三角形与一个扇形面积的差的2倍；或者是大直角三角形与半圆面积的差.解法一：由题意知，AC=AB·cos45°=22，连结OE，则OE⊥BC.∵∠C=90°，∴OE∥AC.又∵OA=OB，∴OE=BE=EC=21AC=2.∴S阴=2(S△OBE－S扇形OEF)=2－2.解法二：由对称性知，S阴=41(S正方形－S⊙O)，∴S阴=41［(22)2-π(2)2］=2-2.5.半径为3cm，圆心角为120°的扇形的面积为()A.6πcm2B.5πcm2C.4πcm2D.3πcm2思路解析：直接利用扇形面积公式计算.-8-答案：D6.如图24-4-1-7，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是…()A.4πB.2πC.34πD.π图24-4-1-7思路解析:S阴影=360240π(R2－r2)=32π×(4－1)=2π.答案：B7.如图24-4-1-8,扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=度.图24-4-1-8思路解析：由题意知：β=360°-α，所以=0.6，即360=0.6.解这个方程得α=135°.答案：1358.如图24-4-1-9，它是由两条直线和中间半圆形弯道组成的.若内外两条跑道的终点在一直线上，则外跑道起点往前移，才能使两跑道有相同的长度，如果跑道宽1.22米，则外跑道的起点应前移多少米?(π取3.14，结果精确到0.01米)图24-4-1-9思路分析：本题是一个实际应用题，应将其转变为几何图形.事实上，外跑道中间的弯道比内跑道的弯道长的长度，即为外跑道的起点应前移的长度.理解题意，求出两弯道的长-9-度差即可.解：因弯道为半圆形，所以外弯道比内弯道长的距离为πR外－πR内=π(R外－R内)=1.22π≈3.83(米)，所以外跑道的起点应前移3.83米.9.如图，已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆M，过M引MP∥AO交AB于P，求AB与半圆弧及MP围成的阴影部分面积阴S。考点：扇形面积的计算分析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连结OP．解答：如图，连结OP．∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP⊥OB．又∵OM=BM=1，OP=OA=2，∴OP=2OM，∴∠MPO=30°，∠MOP=60°，∴∠AOP=30°．∴S阴影=S扇形AOB-S扇形BMQ-S△MOP-S扇形OAP=-