大学课件 高等数学 下学期 6-4(平面的方程)

上一页下一页第四节平面及其方程解析几何：平面曲线解析几何：曲面和空面间平空间曲线。解析几何中：平面曲线当作动点的轨迹解析几何中：任何曲面都可以看作动点平面空间的轨迹。SS(,,)012Fxyz如果曲面与方程(*)满足：（）曲面S上的任一点的坐标满足方程(*);（）不在曲面上的点的坐标都不满足方程(*)；则称方程(*)叫，而曲面S曲面的方程方程叫(*)的曲面。上一页下一页下面我们将以向量作为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面——平面。平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角点到平面的距离上一页下一页定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量(法向量）．法向量的特征：垂直于平面内的任一向量．已知},,,{CBAn),,,(0000zyxM设平面上的任一点为),,(zyxMnMM0必有00nMM一、平面的点法式方程xyzOn0MM一块平面可以有许多法向量.上一页下一页},,{0000zzyyxxMM0)()()(000zzCyyBxxA平面的点法式方程平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，故上述方程就是平面的方程．其中法向量},,,{CBAn已知点).,,(000zyx{,,},nABC00MMn上一页下一页例0(2,1,1{-1,2,4}Mn求过点）且以为法向量的平面方程.解由平面的点法式方程，所求平面方程为1(2)2(1)4(1)0,xyz－-2-40.xyz即上一页下一页解11213{3,3,3},{0,2,3},MMMM1213//nMMMM法向量333{3,9,6}023ijk所求平面方程为(2)3(2)2(0)0,xyz即3240.xyz例123(2,2,0),(1,1,3)(2,0,3).MMM求过三点和的平面方程{1,-3,-2},n所以可取法向量＝上一页下一页123(2,2,0),(1,1,3)(2,0,3).MMM求过三点和的平面方程解22201112300220230xyz所以例11213(,,),MxyzMMMMMM设为所求平面上任一点，则，共面,(2)3(2)2(0)0,xyz即3240.xyz所求平面方程为,,[]0xyzxyzxyzabcaaaabcbbbccc三向量共面上一页下一页由平面的点法式方程0)()()(000zzCyyBxxA0)(000CzByAxCzByAxD0DCzByAx二、平面的一般方程即任何一个平面都可以用上述三元一次方程来表示。上一页下一页反过来，设有：0(1)AxByCzD　　　000(1)(2):()()()0(3)AxxByyCzz　　　　　0DCzByAx：平面的一般方程显然（1）与（3）同解，即（1）也表示一个平面。{,,}.AnBC是法向量二、平面的一般方程0000000(2)xyzAxByCzD取，，满足(1)：＋　　　(,,)?ABC不同时为0上一页下一页平面一般方程的几种特殊情况：,0)1(D平面通过坐标原点；,0)2(A,0,0DD平面通过轴；x平面平行于轴；x,0)3(BA平面平行于坐标面；xoy类似地可讨论情形.0,0CBCA0,0CB类似地可讨论情形.0AxByCzD一般方程：上一页下一页0.ByCzD12,MM将的坐标代入,得20,0CDBD02DDyzD即220.yz所求平面方程为解12(4,0,2)(5,1,0)xMM例.求平行于轴且经过和的平面方程.设这个平面方程为,.2DCBD解得0?D上一页下一页例设平面与zyx,,三轴分别交于)0,0,(aP、)0,,0(bQ、),0,0(cR（其中0a，0b，0c），求此平面方程.设平面为,0DCzByAx将三点坐标代入得,0,0,0DcCDbBDaA,aDA,bDB.cDC解上一页下一页,aDA,bDB,cDC将代入所设方程得1czbyax平面的截距式方程x轴上截距y轴上截距z轴上截距今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.并作图.012243zyx将化为截距式方程,上一页下一页例求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为,1czbyaxxyzo,1V,|abc|161由所求平面与已知平面平行得,611161cba（向量平行的充要条件）解上一页下一页,61161cba化简得令tcba61161,61ta,1tb,61tc|ttt|61161611代入体积式,t61,c,b,a161.zyx666所求平面方程为上一页下一页求平面方程常用两种方法:利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.上一页下一页12定义（通常取锐角）两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角两平面的夹角.0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA1n2n},,{1111CBAn},,{2222CBAn上一页下一页按照两向量夹角余弦公式有||||cos2121nnnn两平面夹角余弦公式两平面位置特征：21)1(0212121CCBBAA21)2(//212121CCBBAA两平面垂直、平行的充要条件222222212121212121||CBACBACCBBAA取锐角},,{1111CBAn},,{2222CBAn上一页下一页例研究以下各组里两平面的位置关系:013,012)1(zyzyx解cos601cos两平面相交,.601arccos夹角222222212121212121||cosCBACBACCBBAA,31)1(2)1(|311201|22222上一页下一页,)0,1,1(1M两平面平行但不重合.,212142,)0,1,1(1M两平面平行两平面重合02224,012)3(zyxzyx解01224,012)2(zyxzyx解1{2,1,1},n2{4,2,2}n,212142两平面平行2)0,1,1(M2)0,1,1(M上一页下一页点到平面的垂直距离0:),,(0000DCzByAxzyxP是平面设外一点,.0的距离到平面求P四、点到平面的距离,),,(1111zyxPn0P{,,}nABC1Pd并作向量.01PP的距离到平面0Pd|cos|||01PP),(01之夹角的法向量与是nPP即d||01PP||n|cos|||n||01nnPP由于nPP01),(111000CzByAxCzByAxD1P上一页下一页222000||CBADCzByAxdd||01nnPPnPP01DCzByAx0000:),,(0000DCzByAxzyxP到平面点的距离公式为上一页下一页222000||CBADCzByAxd点到平面距离公式313填空的到平面点01022)1,1,1(0zyxM).(距离为解222)1(22|101)1(1212|d313上一页下一页解例平行且一平面与平面075420zyx,6个单位相距求这平面方程.设所求平面为05420zyxD在已知平面075420zyx上任取一点).0,47,0(222000||CBADCzByAxd,62516400|7|D.126|7|D133D119D或故所求平面为01335420zyx或01195420zyx上一页下一页平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）四、小结