大学课件 高等数学 下学期 6-5(直线的方程)

上一页下一页第五节空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程两直线的夹角直线与平面的夹角(spacerightline)上一页下一页12定义空间直线可看成两平面的交线.0:11111DzCyBxA0:22222DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程L注;)1(222111不成比例、、与、、CBACBA(2)直线L的一般方程形式不是唯一的.xyzOL过一条直线的平面无数，取任二联立所得方程组即是该直线的一般方程.上一页下一页方向向量的定义如果一非零向量平行于sL已知直线上点0MM,),,(LzyxMsMM0//二、空间直线的点向式方程与参数方程1.点向式方程一条直线可以有许多方向向量.求此直线的方程一条已知直线,这个向量称为这条直线的方向向量.),,(0000zyxMsxyzO},,,{pnms上一页下一页pzznyymxx000直线的对称式方程因为故sMM0//(点向式、标准式）0000{,,}{,,},MMxxyyzzsmnp},,,{pnms的直线L称为、、的三个坐标pnms方向数.上一页下一页pzznyymxx000令直线的参数方程故直线方程的几种形式可以互相转换.tmtxx0ntyy0ptzz0上一页下一页),,(),,,(22221111zyxMzyxM则直线的一个方向向量为:于是对称式方程可写成:121121121zzzzyyyyxxxxpzznyymxx000一般,如直线过两点},,{121212zzyyxx21MM上一页下一页解交点为),0,3,0(B{2,0,4},AB所求直线方程21x.A.Bs,),4,3,2(轴垂直相交且和一直线过点yA.求其方程例03y4.2zxyzO取{1,0,2}s上一页下一页1.将对称式方程拆为一般方程如对称式方程为111101zyx可写成一般方程又如110101zyx)0(zy即可写成一般方程pzznyymxx00001x11zy1x1y各类直线方程的互换xyzO11上一页下一页例将＋＋310220xyzxyz化为对称式方程.先求直线上一定点:于是得直线上的一定点取21nns对称式方程＋－1453xyz＋＋310220xyzxyz－1,x－1,0,0,因所求直线与两平面的法向量都垂直.{1,1,3}{2,1,1}2n1ns法一,0代入以z00－{4,5,3}0y12Ls2.直线的一般方程化为对称式方程(重要)上一页下一页将化为对称式方程.＋＋310220xyzxyz解法二两点法两点－1,0,0,530,-,-,44方向向量53{4,5,3}//{1,,}44s＋方程－1453xyz＋＋或－5344453yzx上一页下一页两个对称式方程实际上直线的对称式方程不唯一.注意都满足这两个对称式方程,530,-,-44－(1,0,0),过两点确定唯一的因此这两个对称式方程表示同一条怎么不一样答:(当定点取得不同时对称式方程不同).另外可验证,两个点一条直线,直线.＋＋－5344453yzx＋－1453xyz上一页下一页写成比例式,53445/43/4yzx解法三(1)(2)3430xz5450xy3(2)(1))2()1(可消去y可消去z两个方程中,每一个只有两个变量,共同的变量即得对称式方程.解出x.将化为对称式方程.＋＋310220xyzxyz＋＋310220xyzxyz＋＋或－5344453yzx上一页下一页将直线的一般方程(2)用代数的消元法化为比例式;有两种方法(1)找点、方向向量（平面法向叉积，两点法）化为点向式方程小结上一页下一页3.直线的参数方程上式何时有用宜于tpzznyymxx000设为参数ttpzztnyytmxx000直线的参数方程故答:},,{pnms直线与平面的交点.上一页下一页241312zyx令241312zyx得62zyx解tztytx243206)24()3()2(2ttt1t再代入代入平面方程,求直线例与平面的交点.t得,1x,2y.2z交点(1,2,2)上一页下一页解先作一过点M且与已知直线垂直的平面3再求已知直线与该平面的交点N,令12131zyxtztytx1213.M垂直相交的直线方程.12131)3,1,2(zyxM且与直线求过点例N21)2(x)1(y)3(z0t上一页下一页73t交点)73,713,72(N取所求直线的方向向量为MNMN}373,1713,272{}724,76,712{直线方程为451122zyx0)3()1(2)2(3zyxtztytx1213代入得将)3,1,2(M直线过点.MN想一想还有别的方法吗?上一页下一页定义直线:1L111111pzznyymxx直线:2L222222pzznyymxx),cos(21LL^两直线的方向向量的夹角称之.两直线的夹角公式三、两直线的夹角（锐角）222222212121212121pnmpnmppnnmm上一页下一页两直线的位置关系::1L:2L},,,{1111pnms},,{2222pnms121212120.LLmmnnpp11112222//.mnpLLmnp上一页下一页与直线及112211zyx都平行且过原点的平面方程为().tztyx2110zyx1.练习：上一页下一页的交线平行的直线方程.解设所求直线的方向向量为},,,{pnms,1ns,2ns取21nns},1,3,4{.153243zyx所求直线的方程例和且与两平面求过点34)5,2,3(zx152zyx过已知直线外一点作直线与已知直线平行上一页下一页直线和它在平面上的投影直线的定义20,:000pzznyymxxL,0:DCzByAx},,,{pnms},,,{CBAn2),(ns^2),(ns^四、直线与平面的夹角夹角sin2cos称之..2cos上一页下一页直线与平面的夹角公式直线与平面的)1()2(//(直线与平面垂直、平行的充要条件)sin222222||pnmCBACpBnAm;pCnBmA.0CpBnAmLL位置关系：上一页下一页,031020123zyxzyxL为设直线).(,0224则为平面zyx平行于LA..上在LB垂直于LC.斜交与LD.C上一页下一页设有两块不平行的平面其中系数不互相成比例交成一条直线L过直线L的所求全体平面平面束)1(0:11111DzCyBxA0022221111DzCyBxADzCyBxA作(3)表示过直线L的平面)(2除0)(2222DzCyBxA1111DzCyBxA)3()2(0:22222DzCyBxA上一页下一页解·想一想还有别的方法吗?试比较哪种方法简单?的和点求过直线)1,1,1(010zyxzyx.平面方程)1(0)1(zyxzyx将点代入(1)中,得)1,1,1(0)1111(11123将代入(1)中,得23035zyxn例过已知直线的平面束方程为上一页下一页例解且与平面求过直线,0405:zxzyx过已知直线的平面束方程为0)4(5zxzyx04)1(5)1(zyx即其法向量又已知平面的法向量}.8,4,1{2n.401284角的平面方程组成zyx1n}1,5,1{上一页下一页4cos222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1(,2723222即由此得.43代回平面束方程为.012720zyx且与平面求过直线,0405:zxzyx.401284角的平面方程组成zyx2121nnnn0)4(5zxzyx)1,5,1(1n)8,4,1(2n上一页下一页思考题1使之满足作一直线过已知点,)3,2,1(0M相交，与直线532131:)2(1zyxL求此直线方程.解方向向量1L},5,2,3{1s,)3,1,1(11上在点LM1L0M1M),,(zyxM;}3,2,6{)1(垂直与向量a10LM及由所确定的平面方程为0523632321zyx0)3(13)2(28)1(3zyx上一页下一页即0)3(13)2(28)1(3zyxaM且垂直于过0的平面方程:0Ma0)3(3)2(2)1(6zyx故所求方程:0)3(3)2(2)1(60)3(13)2(28)1(3zyxzyx即633221zyx上一页下一页思考题2问:求异面直线的公垂线的长有公式可循吗?答:有.设直线21,LL为两异面直线,它们分别过点,,21MM其方向向量分别为.,21ss|||)(|212121ssssMMd