大学课件 高等数学 下学期 6-7(空间曲线及其方程)

上一页下一页第七节空间曲线及方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线的投影四、小结上一页下一页0),,(0),,(zyxGzyxF空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程上一页下一页例1方程组表示怎样的曲线？6332122zyxyx解122yx表示圆柱面，6332zyx表示平面，6332122zyxyx交线为椭圆.上一页下一页例2方程组表示怎样的曲线？4)2(222222ayaxyxaz解222yxaz上半球面,4)2(222ayax圆柱面,交线如图.上一页下一页)()()(tzztyytxx当给定1tt时，就得到曲线上的一个点),,(111zyx，随着参数的变化可得到曲线上的全部点.空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程上一页下一页动点从A(a,0,0)点出发，经过t时间，运动到M(x,y,z)点,例3如果空间一点M在圆柱面222ayx上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中、v都是常数），那么点M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．AMMM在xoy面的投影)0,,(yxMtaxcostaysinvtzt螺旋线的参数方程取时间t为参数，解xyzo上一页下一页螺旋线的参数方程还可以写为bzayaxsincos),(vbt上一页下一页0),,(0),,(zyxGzyxF消去变量z后得：0),(yxH曲线关于的投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影上一页下一页如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面上一页下一页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影00),(xzyR00),(yzxT面上的投影曲线,yoz面上的投影曲线,xoz00),(zyxH空间曲线在面上的投影曲线xoy上一页下一页例4求曲线在坐标面上的投影.211222zzyx解（1）消去变量z后得,4322yx在面上的投影为xoy,04322zyx上一页下一页所以在面上的投影为线段.xoz;23||,021xyz（3）同理在面上的投影也为线段.yoz.23||,021yxz（2）因为曲线在平面上，21z222112xyzz上一页下一页例5求抛物面xzy22与平面02zyx的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为0222zyxxzy解如图,上一页下一页（2）消去y得投影,0042522yxxzzx（3）消去x得投影.00222xzyzy（1）消去z得投影,004522zxxyyx上一页下一页例6：求椭圆抛物面zxy222与抛物柱面zx22的交线关于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.,22222zxzxy解：交线方程为消去z得投影柱面,122yx在面上的投影为xoy.0122zyx上一页下一页补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面上一页下一页例7.,)(34,2222面上的投影求它在锥面所围成和由上半球面设一个立体xoyyxzyxz解半球面和锥面的交线为,)(3,4:2222yxzyxzC,122yxz得投影柱面消去上一页下一页面上的投影为在则交线xoyC.0,122zyx一个圆,面上的投影为所求立体在xoy.122yx上一页下一页空间曲线的一般方程、参数方程．四、小结空间曲线在坐标面上的投影．0),,(0),,(zyxGzyxF)()()(tzztyytxx00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxT