大学课件 高等数学 下学期 7-4（多元复合函数的求导法则）

1/26一、复合函数求导的链式法则三、一阶全微分形式的不变性第四节多元复合函数的求导法则二、复合函数的高阶偏导数四、小结2/26),(),,(),,(yxvyxuvufz)].,(),,([yxyxfz复合函数为两个中间变量两个自变量的情形.一、复合函数求导的链式法则3/26),(),(),(yxyxvyxu都在点及如果,的偏导数和具有对yx在对且函数),(vufz),(vu应点则复合函数)],(),,([yxyxfz的两个在对应点),(yx偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,.yvvzyuuzyz,xvvzxuuzxz1、定理4/26证.),,(),(yxyxxux则);,(),(yxyxxvx.0,yyxx保持不变，而获得增量设zx可微)(ovBuAz由于函数),(),(vuvufz在点有连续偏导数vvzuuzxx,21vuxxxzx,0,0时当vuxx0,021xvvzxuuzxxxvxuxx215/26,xuxux,xvxvx,0时当x0,0vuxx).0,0(21,0时当xxzxxvvzxuuzxxxvxuxx21上式两端取极限，得令,0x,),(),(xvvufxuvufxvvzxuuzxzvu同理可证另一个公式。6/26uvxzyxzuzxuvzxvyzuzyuvzyv变量树图uv)],(),,([yxyxfz7/262、项数3、每一项中间变量函数对中间变量的偏导数，乘以中间变量对其指定自变量的偏导数.的个数.公式特征：1、偏导数公式个数＝自变量个数8/26中间变量多于两个的情形xzyz类似地推广,),(),,(),,(yxwyxvyxu设,),(的偏导数和处具有对都在点yxyx复合函数)],(),,(),,([yxyxyxfz在对应点),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:vuwzwvuyxxuuzxvvzxwwzyuuzyvvzywwz9/26解.xzuzxuvzxv1cossinveyveuu)].cos()sin([yxyxyexyyzuzyuvzyv1cossinvexveuu)].cos()sin([yxyxxexy例1.,,,sinyxvxyuvezu设.yzxz和求10/26例2.设,1222wvuzxz解.)()(23222wyvxuxwyxuwvuuz2)(2123222xxu2求.,,2222yxvyxu.2xywxwwzxvvzxuuzxz11/26二、复合函数的高阶偏导数对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.例3.设f具有二阶连续偏导数,,22xu求.2txu),,(22xttxfu解.),(srfu,,22xtstxr令12/26ursxtxssfxrrfsfxtrfx22xuf具有二阶连续偏导数,srf2rsf2.2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrfrfxu222x2)2xtsfxt322xtsrf2)2xrsf2(22rfx2(22sf2xt13/26u对中间变量r,s的偏导数从而也是自变量x,t的复合函数.都是x,t的函数,,rfsf注2注1为了书写简便,常引进记号:1f表示对第一个中间变量求偏导,2f表示对第二个中间变量求偏导,12f表示先对第一个中间变量求偏导,再对第二个中间变量求偏导.14/26.),,(.423yxzfxyxyfxz，求具有连续的二阶偏导数设例解..后次序无关二阶混合偏导与求导先，可知具有连续的二阶偏导数由f2214213]1[fxfxfxfxxyz][41221141322fxyyfxfxxyzyxz][22222122fxyyfxfx.2422114213fyfyxfxfx15/262、中间变量为一元函数)(),(),,(tvtuvufz的情形.定理,)()(可导都在点及如果函数ttvtu),(),(vuvufz在对应点函数,)](),([可导在对应点则复合函数tttfz且其导数可用下列公式计算:tzdd具有连续偏导数,tuuzdd.ddtvvz导数tzdd称为全导数。16/26复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广tzdduvwtz变量树图),,,(wvufz如)(),(),(twwtvvtuuuzvztuddwztvddtwdd17/26例5.设求xydd这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二xyddyuvx,)(cossinxxy解.法一,cosxu令)(cosln)sin(1xuuxvuvv]tancos[ln)(cos2sin1xxxxvuy则可用取对数求导法计算.,sinxvxuuyddxvvydd18/26),(),,,(yxuyxufz其中即],,),,([yxyxfzxzyz两者的区别3.的情形.xwwzxvvzxuuzxz把复合函数],,),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数),,(yxufz把中的u及y看作不变而对x的偏导数ywwzyvvzyuuzyzxuufuvwxvxwyv.1,1,0,0yw,xfyuuf.yf19/26例6.设求),ln,(22yxyxfz.,yzxz012321fxfxfxz2112fxfx10)2(321ffyfyz312ffy解.20/26已知f(t)可微,证明满足方程)(22yxfyz.112yzyzyxzx提示)(tfyzt,y为中间变量,x,y为自变量.,)()(22tftfxyxz.)()(2)(122tftfytfyz引入中间变量,则,22yxt令练习21/26),(vufz设函数具有连续偏导数,则有全微分;dddvvzuuzz,),(),,(时当yxvyxu则有全微分,dddyyzxxzzxvvzxuuzyvvzyuuzyyuxxuuzddyyvxxvvzdduuzd.dvvz全微分形式不变性的实质三、一阶全微分形式的不变性22/26解.0)2(dzxyeze)(dxyexyzezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(dxz,2zxyeyeyz.2zxyexe例7.,02zxyeze已知.yzxz和求zd2zezd0)dd(xyyxexy注：通过全微分求所有一阶偏导数,比链式法则求偏导数有时会显得灵活方便.23/26思考题即次齐次函数是设,),,(kzyxf),,,(),,(zyxfttztytxfk则结论为某一常数,);,,()(zyxfkzfzyfyxfxA);,,()(zyxfzfzyfyxfxBk);,,()(zyxkfzfzyfyxfxC).,,()(zyxfzfzyfyxfxDC正确的是().24/26思考题解答),,(),,(zyxfttztytxfk令,txu,tyv,tzw则),,(),,(zyxfttztytxfk),,,(),,(zyxftwvufk两边对t求导,得tuuftvvftwwf),,(1zyxfktkufxvfywfz),,(1zyxfktktttt),,(zyxftkk),,(wvukfufuvfvwfw),,(wvukf);,,()(zyxkfzfzyfyxfxC25/26多元复合函数求导法则(链式法则)全微分形式不变性(理解其实质)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导四、小结