大学课件 高等数学 下学期 7-5（隐函数求导法）

1/29一、一个方程的情形二、方程组的情形第五节隐函数求导法三、小结2/29隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲线方程下面讨论如何由隐函数方程0),(yxF0),,(zyxF0),,(0),,(zyxGzyxF如求偏导数.3/29一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链式法则给出隐函数(1)0),(.1yxF)1(0),(yxF的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.4/29隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP设二元函数的某一邻域内满足:在点,0),(00yxFy则方程;0),(00yxF),(xfy),(00xfy的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;0),(yxF),(00yxP它满足条件在点隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由全导数公式,得)(xf05/29连续，由于),(yxFy，且0),(00yxFy,0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx或简写:.ddyxFFxy),(00yx于是得所以存在的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFyxydd0),(xF)(xf06/29解.令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxydd.xyyx例1..dd,arctanln22xyxyyx求已知7/29),,(zyxF),,(000zyxP,0),,(000zyxFz则方程;0),,(000zyxF),,(yxfz),,(000yxfz内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内0),,(zyxF),,(000zyx函数它满足条件在点在点0),,(zyxF2.由三元方程确定二元隐函数),,(yxfz.,yzxz求隐函数存在定理2的某一邻域,zxFFxz.zyFFyz(1)(2)(3)满足:8/29(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,),,(yxF应用复合函数求导法得),(yxf0xFzFxz,0,zxFFxz.zyFFyz是方程所确定的隐设函数,则yFzFyz.0zF，且0),,(000zyxFz,0zF),,(000zyx点所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得9/29例2.,1222222czbyax已知.,2yxzyzxz及求解.),,(zyxF1222222czbyax则,22axFx,22byFy22czFzxzzaxc22yzzbyc22令)0(z,zxFFxzzyFFyz看作是将时、、在求),,(,zyxFFFFzyx的zyx,,.三个自变量的函数注意：10/29将xzzaxc22yxz222axc22222)]([zazbycxc3224zbaxyc再一次对y求偏导数,得2zyz11/29例3.设有隐函数,其中F的偏导数连续,0),(zyzxF求,xz.yz解.令),(),,(zyzxFzyxGxGyGzGzxGGxzzyGGyz用复合函数求导法)(22yzF法一由公式.zxGGxz1F1z2F1z)(21xzF,211FyFxFz212FyFxFz,0012/29将隐函数方程两边取全微分,zxFd1即1F故2121dddFyFxyFzxFzz从而,211FyFxFzxz此法步骤清楚法二利用全微分..212FyFxFzyz2F,0),(zyzxF求,xz.yzzyFd202ddzzxxz2ddzzyyz0得13/29将方程两边求导.对x求偏导:uvuF即zuF1vFyuFxuFzxz自己练习z是x,y的函数!0),(zyzxF法三012xzzyvFvF0xuxvxz21zx.212FyFxFzyz14/29解.令,zyxu,xyzv则).,(vufz.,,),,(zyyxxzxyzzyxfz分别求设,xzxzvf整理得xzvuvuxyffyzff11.2.,yx),(yxyzxzfv)1(0yxfuuf)1(xz),(xzxyyz把z看成x,y的函数对x求偏导数,得把x看成y,z的函数对y求偏导数,得例4.15/29),(xyzzyxfz整理得,vuvuyzffxzffyx)1(1zyfu),(zyxzxyfv整理得zy.1vuvuxzffxyff3.,zy把y看成x,z的函数对z求偏导数,得16/29二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定两个二元函数,xu,yu),,(yxuu求故由方程组求导方法.).,(yxvv,xv.yv17/29将恒等式0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于x求偏导,xu解这个以,xuxv为未知量的线性方程组,由链式法则得:xGxFuFvFxv0uGxuvGxv018/29解得当系数行列式不为零时,即vGuGvFuF),(),(vuGFJ雅可比行列式.0Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851xuvGuGvFuFvGxGvFxFxvvGuGvFuFxGuGxFuF,),(),(1vxGFJ.),(),(1xuGFJ19/29同理,vGuGvFuFvGyGvFyFyuvGuGvFuFyGuGyFuFyv,),(),(1vyGFJ.),(),(1yuGFJ00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于y求偏导,得20/29特,0),,(0),,(时vuxGvuxF如果方程组它可能确定两个现假定它确定),(),(xvvxuu且两个函数都则求xvxudddd与的方法同前面求与xuxv的方法相同.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF为可微,别一元函数,21/29例5.)0,0(,212222zyzyxzyx设及求xzxydd,dd.dd,dd11xxxzxy解.分析),(xyy).(xzz方程组两边对x求导1x2xyddxzdd0y2xzddxyddz22/29得zyzxxy22ddzyyxxz222dd1x1x01x1x1例6.设方程组,0022222vuxyuvyx确定函数和),(yxuu),,(yxvv.,,,yvxvyuxu求解.原方程组两边分别对x求偏导数：23/29解方程组得,2222yxvvxuuxxvuxuv移项得：,022022xvvxuuyxvuxuvx.)(24222vuvyxvxv,0的条件下在Jxu,)(24222vuuxuvuuv22vu2x22y24/29原方程组两边分别对,022202yvvyuuxyyvuyuvy,222vuxyvyvyu.222vuxyvyuyv解方程组得y求偏导数：25/29解.用全微分)2(0)1(dzFdyFdxFdyfdxfdzzyxyx得消去,)2()1(dyfFyydxfFFfdzFfFyxyxzyy)()(zyyyxyxFfFfFFfdxdz和由方程),(yxfz分别具有和其中的函数为确定Ffzxy,,.ddxz求一阶连续导数和一阶连续偏导数,0),,(zyxF例7.26/29(以下三种情况)隐函数的求导法则0),()1(yxF0),,()2(zyxF0),,,(0),,,()3(vuyxGvuyxF三、小结27/29思考题.,,,2zuxvxuvzuyzvux求设分析方程组中含有五个变量,由题意看出vu,是因变量,zx,是自变量,y究竟是因变量,还是自变量?在这种所求偏导是一阶,而又有一变量的属性不太明确的情况下,形式不变性来处理比较简便.用全微分28/29解答vzuyzvux2的两边求全微分,得zvuuxddd2dzvvzuyddddzvyvzuzxvuudddddddd212dd)(dduzyzvzxzu12d)21(dd2duzzuvxyuvxuxv12uzvz,12uzz,121uzzu