大学课件 高等数学 下学期 8-2(二重积分的计算)

1/46二重积分的几何意义在直角坐标系下计算二重积分在极坐标系下计算二重积分二重积分的换元法小结2/46(,)DfxyD若几何形体是平面有界闭区域时，二元函数在上的积分称为二重积分，记为：d(,)Dfxyd(,)0(,)(,).Dfxyfxyfxy当时，的物理意义表示以为面密度的非均匀薄片的质量一、二重积分的几何意义曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,侧面以D的3/46),(yxfz曲顶柱体体积=特点D困难0),((yxf),,(yxfz边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,顶是曲面且在D上连续).oyxz曲顶顶是曲的柱体体积=特点分析平顶底面积×高4/46解决问题的思路、步骤与曲边梯形面积的求法类似：化整为零、近似代替、积零为整、无限趋近.D),(yxfzxzyO),(ii),(iifi5/46(1)化整为零分为n个小曲顶柱体.n,,21(用表示第i个子域的面积).i将域D任意分为n个子域相应地曲顶柱体(2)近似代替iii),(第i个小曲顶柱体的体积的近似式iV在每个子域内任取一点ni,3,2,1iiif),(6/46(3)积零为整(4)无限趋近λ)趋于零,lim(,)01niiiiVf(,)1niiiiVf求曲顶柱体体积的近似值令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体的体积.7/46(2)二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,),(yxf,0),(时当yxf,0),(时当yxf柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,),(yxf当8/46例设D为圆域222Ryx二重积分DyxRd222=解222yxRz上述积分等于DyxRd222332R由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RyxzOD9/46二、在直角坐标系下计算二重积分(1)积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、)(1x)(2xb)(2xy)(1xyaDX－型],[ba在区间上连续.xOyxOy)(1xy)(2xyDba10/46的值等于)0),((d),(yxfyxfD计算截面面积),(yxfz(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间)](),([0201xx为曲边的曲边梯形.),(0yxfz为底,曲线xyzO),(yxfzD)(2xy)(0xA1()yxab0x11/46是区间为底,)](),([0201xx曲线为曲边的曲边梯形.),(0yxfz)(01x],[baxyyxfxAxxd),()()()(21有:DyxfVd),(baxxAd)(＊xbad)d),(()()(21xxyyxf)(02xyyxfxAd),()(00先对y后对x的二次积分称为累次积分.Dyxfd),(baxxyyxfx)()(21d),(dxyzO),(yxfzD)(1xy)(2xyab0x)(0xA12/46(2)积分区域为：,dyc)()(21yxyD)(2yxcd)(1yxY－型Dyxfd),(先对x后对y的二次积分也即dcyyxyxfy)()(21d),(dDyxfd),(其中函数、)(1y)(2y],[dc在区间上连续.xOyxOyD)(2yxcd)(1yxdcyd)d),((xyxf)(1y)(2y13/46abdc计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:,bxa)()(21xyx,dyc)()(21yxy但可作出适当选择.xyO(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.D(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.321DDDxyO3D2D1D14/46例1解1d22Dxyd2211xxxxy9.41:12,Dxyxxd22xyyd21xd22,2,DxDxyxy求其中是由直线和1.xy双曲线围成的闭区域将D看成X型区域1xxxyOyx1x1xy)d231(xxx15/46例1解2d22Dxy9.4111:1,22Dyxyd22xxyd112yd22,2,DxDxyxy求其中是由直线和1.xy双曲线围成的闭区域将D看成Y型区域1y2xyOyx1x1xyD1D22:12,2Dyyxdd122222DDxxyyd22xxyd21yy2第一种方法计算量小16/46例4dd21120yxIxxeye-y2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,xy)1,1(可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:,10x1yx,10yyx017/46dd21120yxIxxeyd213013yyey212016yyde1163ed20yxxd210yeyoxyxy)1,1(,10:yDyx022yDxed18/46例交换积分次序：解积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式=10dyy2xyxfd),(211y22xxyxy2xyO1219/46又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:,dsinxxx,d2xex,lndxx等等,一定要放在后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex,dxexy20/462xy解(1)先去掉绝对值符号,如图d)(12Dxy12112d)(dxyxyx1115例5d2Dxydd21210()xxxyyd)(22Dyx先对y积分简单DD1D2xyO1111d2.:11,11.DyxDxy计算其中(1):11,01Dxy所确定的范围；(2):22,01Dxy所确定的范围；D221/462xy解(2)仿照(1)的方法，同时充分利用可加性d)(12Dxydd211212()xxyxy225例5d2Dxydd21220()xxyyd)(22Dyx先对y积分简单DD1D2xyO221d2.:11,11.DyxDxy计算其中(2):22,01Dxy所确定的范围；D2D1d122()Dyxd212()DDxy22/46设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.Dyxfd),(oxyD1性质1）即),(),((yxfyxf则D1为D在第一象限中的部分,1d),(2Dyxf坐标y为奇函数0d),(Dyxf)),,(),((yxfyxf即则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于二重积分的对称性质23/46Dyxfd),(如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数0d),(DyxfoxyD1如果函数f(x,y)关于坐标x为偶则,),(),((）即yxfyxf函数,),(),((）即yxfyxf则设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,1d),(2Dyxf性质224/46Dyxfd),(如果函数f(x,y)关于x和y为奇函数0d),(Dyxf如果函数f(x,y)关于x和y为则偶函数则设区域D关于原点对称,将D分为关于原点对称的两部分D3+D4，d32(,)Dfxy性质325/46设D为圆域(如图)d2Dyd212Dyd3Dy0d2Dxd222Dxd3Dx0D1为上半圆域D2为右半圆域yxOyxO26/46).(ddsincos等于则yxyxxyD为顶点的三角形区域,(A).ddsincos21yxyxD(B).dd21yxxyD(C).ddsincos41yxyxxyD(D)0.A研究生考题,选择,3分)1,1()1,1(),1,1(和平面上以是设xOyDD1是D在第一象限的部分,27/46yxyxxyDddsincosD1D2D3D4记I=则I=I1+I2,其中I1=yxxyDddI2=yxyxDddsincos而I1=yxxyDddyxxyDDdd21yxxyDDdd43D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称xy关于x和关于y都是奇函数000)1,1()1,1()1,1(xyO28/46而I2=yxyxDddsincosyxyxDDddsincos21yxyxDDddsincos43是关于x的偶函数,yxyxDddsincos21关于y的奇函数.所以yxyxDddsincos21yxyxDddsincos2121III0yxsincosD1D2D3D4)1,1()1,1(xyO)1,1(29/46三、在极坐标系下计算二重积分irriirrri21()2iiiirrriiirrOADiiii(,)iir21()2iiirr212iircos,iiirsiniiir,)iii则(30/46iiinif),(lim10即Dyxfd),(Dyxyxfdd),(也即ddrr极坐标系中的面积元素dd(cos,sin)rDfrrrrdd(cos,sin)rDfrrrrnif1(cos,iiriiirsin)iir0lim31/461()r2()rdd(cos,sin)Dfrrrr(1)积分区域D:,12()()rθAO1()r2()rDd)(1d(cos,sin)frrrr　)(2OADθ32/46Ddd()0(cos,sin)frrrr(2)积分区域D(曲边扇形):,0()rdd(cos,sin)DfrrrrAOAOD()r()r33/46dd(cos,sin)Dfrrrrdd2()00(cos,sin)frrrr极坐标系下区域的面积ddDrr(3)积分区域D:,200()rDoA()r注一般,在极坐标系下计算:θr先对再对积分34/46解cossinxryrDyxyxfdd),(dd(cos,sin)frrrr　例写出积分的极坐标二次积分Dyxyxfdd),(其中积分区域形式,}10,11),{(2xxyxyxD在极坐标系下圆方程为1r直线方程为1cossinr1cossin102yxO11122yx1yxD35/46解yxeDyxdd22dd2200arer