大学课件 高等数学 下学期 8-4(重积分的统一定义)

1/24问题的提出多元数量值函数积分的概念多元数量值函数积分的性质小结2/24一、问题的提出——非均匀物体的质量(,)fxy若面密度（常数）,即薄片的质量是均匀分布的：1．平面薄板的质量xyO,(,)(,),(,),,.xOyDxyfxyfxy0DM设有一平面薄片，占有面上的有界闭区域在点处的面密度为假定且在上连续求平面薄片的质量质量=面密度面积3/24如何创造条件使解决问题的思路、步骤与思想是化整为零、变不变这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似：近似代替、积零为整、无限趋近.(,)fxy若面密度为变量时4/24(1)化整为零相应地平面薄片分为n个小块.(2)近似代替iii),(第i个小块薄片的质量的近似式iMn,,21(用表示第i个子域的面积).i将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点ni,3,2,1iiif),(5/24(3)积零为整(4)无限趋近λ)趋于零,lim(,)01niiiiMf(,)1niiiiMf求n个小块薄片质量的近似值之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为非均匀平面薄片的质量.6/24(1)将空间闭区域Ω分割成n个小块，看作均匀物体.iM(2)M(3)M(4)（也表其体积）近似任取小块iv设有一空间物体,,占有空间有界闭区域(,,)(,,),xyzfxyz在点处的体密度为连续函数求物体的质量M.(,,)iiiifv1(,,)niiiiifv1(,,)niiiiifv0lim2．空间物体的质量7/243.曲线型物体的的质量(1)将曲线Γ分割成n个小弧段，看作均匀曲线弧.iM(2)M(3)M(4)（也表其弧长）近似任取小弧段is设空间内有质量的曲线弧Γ,(,,),fxyz处的线密度为连续函数的质量M.(,,)iiiifs1(,,)niiiiifs1(,,)niiiiifs0lim(,,)xyz在点求该曲线弧8/244.曲面型物体的的质量(1)将曲面Σ分割成n个小块曲面，看作均匀曲面.iM(2)M(3)M(4)（也表其面积）近似任取小块曲面iS设具有质量的曲面薄片Σ，(,,),fxyz面密度为连续函数量M.(,,)iiiifS1(,,)niiiiifS1(,,)niiiiifS0lim(,,)xyz在点处的求该曲面薄片的质9/24二、多元数量值函数积分的概念也表示每一小部分的度量()fP设为一个有界的闭几何形体（可以是直线段、曲线弧段、平面区域、空间曲面或空间立体），它是可以度量的（即可以求长度或面积或体积）,函数是定义在上的一个有界的数量值函数.i其中iiP在每个上任取一点定义n将任意分成个小部分,,,,12n①10/24作乘积()iifP),,,2,1(ni并作和().niii1fP②③则称函数存在,()fP在上可积，且称此极限④max{},i1iniiP记的直径如果不论对怎样划分，不论点在怎样选取，极限lim().nii0i1fP()fP值为多元数量值函数在几何形体上的积分（黎曼积分），记为11/24积分区域积分和被积函数被积表达式面积元素(),fPd记为即()lim()nii0i1fPdfP12/24多元数量值函数积分的表达式()(,),()iixoyDfPDfxyfPD若几何形体为面上的区域，则为上的二元函数为子区域的面积，从而在上的积分可以写为：（1）iiniiDfyxf),(limd),(10Dd其中是二重积分的积分区域，称为面积元素.(,)fxyD并称为二元函数在上的二重积分，记为(),lim(,)niii0i1fPdf13/24()(,,),()(,)iifPfxyzvfPfxyz若几何形体为空间的闭区域，则为上的三元函数为子区域的体积，从而在上的积分称为三元函数，在上的三重积分，记为（2）dv其中是三重积分的积分区域，称为体积元素.d(,,)lim(,,)niiii0i1Ωfxyzvfv（3）L()(,)(,,),()iifPLfxyfxyzsfP若几何形体为平面曲线弧段或空间曲线弧段，则为上的二元函数或上的三元函数为小弧段的弧长，从而14/24()L其中或称为积分曲线.(,)lim(,)niii0i1Lfxydsfs（4）()fL在上的积分称为在或上的第一型曲线积分，也叫做对弧长的曲线积分，记为或(,,)lim(,,)niiii0i1fxyzdsfsS()iifP若几何形体为一空间曲面，则为定义在曲面上的三元函数，为子区域的体积，()PL注：点的坐标受曲线或的方程的约束.15/24其中为积分曲面.d(,,)lim(,,)niiii0i1fxyzSfS()(,)fPfxyz从而在上的积分称为三元函数，在上的第一型曲面积分，记为P注：点的坐标受曲面的方程的约束.二、多元数量值函数积分的性质1、多元数量值函数积分的存在性16/24若f(P)在有界的闭几何形体Ω上是连续的，则()fPd存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.都假定被积函数在相应的17/24性质１(与定积分有类似的性质)()()kfPdkfPd2、多元数量值函数积分的性质[()()]()()kfPsgPdkfPdsgPd[()()]()()fPgPdfPdgPd组合形式k（为常数）18/24性质2（区域可加性）若闭区域Ω可分为两个子域()()()12fPdfPdfPd性质3（积分不等式）oxyΩ1Ω2Ω1与Ω2除分界线外无公共部分.Ω,,12则()(),PfPgP若对，则()()fPdgPd特别()()fPdfPd19/24(()(mfPdM的度量）的度量）性质4(估值性质)则(),mfPM设P性质5(中值定理)0P()fP设在有界闭几何形体上连续，则存在使得()()(0fPdfP的度量）20/24P140例题1比较与d)(21DyxI(,),(,),(,)DA10B11C20其中是以点为顶点的三角1xy2ed)(32DyxI的大小,ln()0xy1形闭区域.解：D在闭区域内，有即ln()ln()2xyxy故由积分不等式dd()()2312DDIxyIxy21/24多元数量值函数积分的定义多元数量值函数积分的性质(线性性质、区域可加性、积分不等式、估值定理、中值定理)(四步:化整为零、近似代替、积零为整、无限趋近)四、小结