大学课件 高等数学 下学期 8-3(三重积分的概念与计算)

1/47在直角坐标系下计算三重积分在柱面坐标系下计算三重积分在球面坐标系下计算三重积分三重积分的换元法小结2/47(,,)fxyz若几何形体是空间有界闭区域时，三元函数在上的积分称为三重积分，记为：(,,)fxyzdv(,,))0(,,)(,,).fxyzfxyzdvfxyz当时，的物理意义表示以为体面密度的非均匀立体的质量3/47一、在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的.lkjizyxv则zyxvdddd故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为vzyxfd),,().(是小长方体iv平面的来划分,zyxzyxfddd),,(4/47直角坐标系中将三重积分化为三次积分),,(:11yxzzSDyx),(,1穿入从z投影法思想是),,(:22yxzzS(先一后二法)如图,闭区域xOy在面上的投影为闭区域D,过点作直线,穿出．从2zxyzODab)(1xyy)(2xyy1S),(1yxzz2S),(2yxzz),(yx1z2z5/47,,看作定值先将yx),(),(21d),,(),(yxzyxzzzyxfyxF,),()(:21bxaxyyxyDX－型),(yxF再计算zzyxf只看作将),,(的函数,上的二重积分在闭区间D]d),,([),(),(21yxzyxzzzyxfDyxFd),(Ddvzyxfd),,(得),(),(21d),,(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd则6/47vzyxfd),,(轴且穿过闭区域这是平行于z当D为Y–型闭域时,),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfbaxd注S的边界曲面内部的直线与闭区域相交不多两点情形.d21()()yxyxyvzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfdcdyd21()()xyxyx7/47所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数),,(zyxf同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.8/47解1:22yxD化三重积分zyxzyxfIddd),,(为三次积分,例222yxz22xz及所围成的闭区域.22222xzyxz由其中积分区域为由曲面得交线投影区域：故2211xyx11xz11221122222d),,(ddxyxxxzzyxfyxI222yx22xxyzO22xz222yxz9/47例求zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解2ye的原函数不是初等函数,应先x对积分zyx10d10d)1(yy21541一定要交换积分次序.I10d)1(yy1zyxxyzO10d)1(yyyzyzye102)1(])1(d[2yzyzzye10)1(d)1(2d21(1)0yyzez10/47截面法(红色部分)(先二后一法)截面法的一般步骤(1)向某轴把积分区域)(轴如z投影,得投影区间];,[21cc(2)],[21ccz对,的平面去截轴且平行用过xOyz;zD得截面(3)计算二重积分zDyxzyxfdd),,();(zFz的函数其结果为(4).d)(21cczzF最后计算单积分xzoy1c2czzD11/47即zDyxzyxfcczvzyxfdd),,(dd),,(21cczzF21d)(当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.用上公式简便.注且截面Dz易知时,12/47zyxzdddzDyxdd}1|),{(zyxyxDzzDyxdd截面法(先二后一法)解)1)(1(21zz10dzz计算三重积分,dddzyxz为其中例.1所围成的闭区域三个坐标面及平面zyx原式=zzzd)1(21210.241111xyzO1zyxzD13/47zzyxyzz101010dddzyzyzz1010d)1(d投影法(先一后二法)xzddyzDzy10计算三重积分,dddzyxz为其中.1所围成的闭区域三个坐标面及平面zyxzyxzddd102d)(121zzz.241111xyzO1zyxzyxzdddyxDzzxy10dd14/470,r,20z规定xyzor),,(zyxM(,)Pr,,rz,,r直角坐标与柱面坐标的关系为cos,xrzz就叫点M的柱面坐标.设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数sin,yr二、在柱面坐标系下计算三重积分15/47r为常数为常数z为常数柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为),,(zyxM(,)PrxyzO16/47rxyzo柱面坐标系中的体积元素为ddddvrrzV在柱面坐标系中,,如图,V得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域柱(面)坐标系下三重积分的关系是rrzrzr17/47如何计算柱坐标系下三重积分zyxzyxfddd),,((fcos,rsin,r)zdddrrz将三重积分化为cos,xrsin,yrzz三次积分(累次积分)ddddvrrz18/47如,极坐标不等式表示,12()().rrr先将Ω在xOy面上的投影域用再确定Ω的下,上边界面1(,),zzr2(,)zzrddd(cos,sin,)frrzrrz故d21(,)(,)(cos,sin,)zrzrfrrzrzd21()()rrrd注通常是先积再积后积r、、z.19/470204sin,zr04,r解例5d22,xyv计算2216xy所围成.积分域用柱坐标表示为512.3d20d4sin0rzd420rrr原式rdddrz其中Ω由柱面4,0yzz及平面:4ry4xO20/4720,0az02cos,r解2cosr例,d22vyxz计算)0(0222yxyx所围成.积分域用柱坐标表示为.982a20dazz0dd2cos20rrzr原式rdddrz其中Ω由半圆柱面0,0,0azzy及平面:Oxy2xyzO0222xyxxyzOaz0222xyxxyzOaz0222xyx21/47解2)(zyx222zyx对称性质)(2zxyzxy是关于yzxy关于且vyzxyd)(0例,d)(2vzyx计算是抛物面其中所围成的空间闭区域.,的奇函数y.面对称zOx222222zyxyxz和球面同理,的奇函数是关于xzx.面对称关于且yOzvxzd0xyzO2222zyx22yxz22/47vzyxd)(222计算2001r222rzrd132202(2)rrrrddd22212300rrrrzvyxd)(22ddd3rrzvzyxd)(2柱坐标).19216(15xyzO2222zyx22yxz23/47).89290(60vzd2],13232[60所以dd221220rrrrzz20d对称性质vzyxd)(2224vzyxd)(222计算vzyxd)(2的偶函数yx,都对称xOzyOz,关于两个坐标面同为fvzyxd)(224/47当被积函数是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf积分域Ω由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便.25/47PzyxA,0记投影向量与x轴正方向的.20(,,)规定,0,),,(zyxMOM再将正方向间的夹角为轴与zOM,夹角为球面坐标.称为点M的之长为记向量OMxyzO设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,,三、在球面坐标系下计算三重积分26/47为常数为常数球面坐标系中的三坐标面分别为原点为心的球面；过z轴的半平面．球面坐标与直角坐标的关系为sinsin,ysincos,xcosz为常数原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；zyxA),,(zyxMxyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO27/47球面坐标系中的体积元素为xyzodddd2sinvV若以三坐标面分割空,V得小六面体(红色部分).于是,在球面坐标系中，sin间区域sinsin28/47zyxzyxfddd),,(通常是注先积、、再积.后积cos)(fsinsin,sinsin,ysincos,xcoszdddd2sinvsincos,ddd2sin29/47azcosa222zyx40.cosa解法一采用,40:,20,ddd)(22zyxyxI计算例9是锥面其中所围的立体.)0(222aazzyx与平面球面坐标xyzOaz222zyx30/47zyxyxIddd)(22ddd24cos000a　　　　　d)0cos(51sin255403a.105asincossinsincosxyz0cosa,40:,2043sindddd2sinv31/47zyxyxIddd)(22ddd2200aarrrzd302()ararr]54[254aaa.105aazzyx222rza法二采用:xyD:0,ra,20柱面坐标222ayxz222ayxxyzOaz222zyx32/47当积分区域是球形域或上半部是球面下半部是顶点在原点的锥面,被积函数具有的形式时,用球面坐标计算三重积分较简便.或是球的一部分;222()fxyz33/47.d)(vzx求解vzxd)(vxdvzd积分域被积函数是vxd围成的空间区域,x的奇函数.面对称，关于yOz0vzdddcos2sind014200)(20)sin21(402)41(104r.8球请再用柱面坐标做.xyzO22221zxyzxy设是曲面与34/47四、三重积分的换元法设被积函数),(yxf在空间闭区域Ω上连续,若变换(,,),(,,),(,,)xxuvyyuvzzuv满足如下条件:(1)O'uv将空间-中的闭区域上的点一对一的变换为O-xyz中的闭区域Ω上的点;