大学课件 高等数学 下学期 9-4(第一类曲面积分)

1/27第一型曲面积分的概念及性质曲面面积的计算第一型曲面积分的计算小结2/27(,,)fxyz若几何形体是空间曲面时，三元函数在曲面上的积分称为第一型曲面积分，记为：(,,)fxyzdS一、第一型曲面积分的概念及性质1．第一型曲面积分的概念如果是封闭曲面，常记为(,,)fxyzdS3/27(,,)(,,).fxyzdSfxyz的物理意义表示以为面密度的非均匀有质曲面的质量2．第一型曲面积分的物理意义(,,)1,fxyz当时dS的面积3．第一型曲面积分的几何意义4/27(,,)fxyz当在逐片光滑曲面上第一型曲面积分存在.连续,4．存在条件则及可分为分片光滑的曲面若,211d),,(SzyxfSzyxfd),,(d2(,,)fxyzS5．性质5/27补充设分片光滑的Szyxfd),,(x的奇函数x的偶函数.d),,(21Szyxf.0),(:1zyxx其中,0则曲面Σ关于yOz面对称,为当),,(zyxf为当),,(zyxf6/27二、曲面面积的计算d(1)设曲面S的方程为：),(yxfz,dD,d),(yx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS,d边界为准线以如图,),(yxMAdsxyzo;dSS为截曲面,dA为截切平面SAdd设小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,Sd上具有在Dyxf),(),(),(yxfyxfyx和连续偏导数7/27面上的投影在为xOyAddd2211cosyxffd1d22yxffA),(yxMxyzso曲面S的面积元素cosdADyxffAd122曲面S的面积公式dAdSdn(,,1)xynff8/27(3)设曲面的方程为),(xzhy曲面面积公式zdxyyAxzd122曲面面积公式(2)设曲面的方程为),(zygx曲面面积公式zyxxAzydd122(1)设曲面S的方程为),(yxfzyxzzAyxdd122xyDyzDzxD9/27xyOaa2解)0,(yx求球面,2222azyx含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.例由对称性知,41AA第一挂限图形axyxD221:曲面方程222yxazaaaD1axyx22xyzOyxyxaadd222于是,yxzzyxdd122曲面面积元素为10/27xyOaa2D11dd4222Dyxyxaa2242aa极坐标d1d422aayxzzADyxdd1412202cosa0yxyxaadd222yxzzyxdd122cosa11/27例22yxz)0(22aaxyx因曲面方程为,22yxxzx22yxyzy所以,2d2DA2242aoxzy22yxzaxyx22D22yxz解221yxzz截下的有限曲面片的面积.被柱面求曲面a12/27三、第一型曲面积分的计算],,[yxfSzyxfd),,(:若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：思想是:yxzzSyxdd1d22化为二重积分计算.),(yxzyxzzyxdd122xyD),(yxzz(1)13/27],,[zxfSzyxfd),,(则],,[zyfSzyxfd),,(：若曲面则xzDyzD),(zyxzyxxzydd122(2)(3)),(zyxx(,)yyxz:若曲面(,)yxzdd221xzyyxz14/27确定投影域并写出然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据化为二曲面Σ选好投影面,曲面Σ的方程,重积分进行计算.15/27xyzO例解yz5投影域:}25|),{(22yxyxDxy5,d)(zySzyx为平面其中计算2522yx被柱面所截得的部分.:曲面Szyxd)(xyDy52yxdd故)(yxyxzzSyxdd1d22xyDyxxdd)5(22125二重积分的对称性xyDyxdd52对称性dd2xy16/27例3求2(1)dSxy111解1zyxxyzO0,0,0xyz的界面.1xyz,其中为四面体1,0,0,0zxyxyz投影域:{(,)|01,01}xyDxyyxx:１曲面四面体的界面由四部分组成yxzzSyxdd1d223ddxy17/27例3求2(1)dSxy1111zyxxyzO0,0,0xyz的界面.1xyz,其中为四面体0x投影域:{(,)|01,01}yzDyzzyy:2曲面ddydz221yzSxxddyz18/27例3求2(1)dSxy1111zyxxyzO0,0,0xyz的界面.1xyz,其中为四面体0y投影域:{(,)|01,01}xzDxzzxx:3曲面ddxdz221xzSyyddxz19/27例3求2(1)dSxy1111zyxxyzO0,0,0xyz的界面.1xyz,其中为四面体0z投影域:{(,)|01,01}xyDxyyxx:4曲面ddxdz221xzSyyddxz20/272(1)dSxy112003(1)xdydxxy11200(1)ydzdyy11200(1)xdzdxx11200(1)xdydxxy33(31)ln2221/27例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面zxyOzxyOzxyO22/27解2dSx1231dSxDyxxdd0Dyxxdd1100z2xz122yx投影域1:22yxD例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面对称性zxyO23/27zxyO(左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22zxxdd112Sxd1:223yx将投影域选在面上xOz注21xy分成左、右两片3dSxSxd31Sxd32312x2xzDzxxdd112zxxxdd122012x12xzSxd00对称性xzO1124/27第一型曲面积分的概念及性质四、小结(物理意义，几何意义，可加性等）第一型曲面积分的计算曲面面积的计算三种形式的计算公式思想:化为二重积分计算;曲面方程三种形式的计算公式