大学课件 高等数学 下学期 9-5(第二型曲面积分)

1/39第五节第二型曲面积分一、有向曲面二、第二型曲面积分的概念与性质三、第二型曲面积分的计算法四、两类曲面积分之间的联系2/39n有两侧的曲面.(1)双侧曲面1.曲面的分类法向量的方向来区分曲面的两侧.规定一、有向曲面3/39(2)单侧曲面莫比乌斯(Mobius)带.B、C粘在一起形成的环不通过边界可以这在双侧曲面上是不能实现的.它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下,将A、D粘在一起，行带.小毛虫在莫比乌斯带上,爬到任何一点去.Mobius(1790--1868)19世纪德国数学家4/39观察以下曲面的侧曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧2.有向曲面通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的)有向曲面.决定了侧的曲面称为5/393.有向曲面在坐标面上的投影.)(表示投影区域的面积其中xy设Σ是有向曲面.,S曲面为面上的投影在xySxOyS)(xyS)(时当0cosxy)(时当0cosxy)(时当0cos0恰好等于与坐标面xOy的二面角.S假定cosS的余弦上各点处的法向量与z轴的夹角有相同的符号.在有向曲面取一小块上6/39类似地,可定义在yOz面及zOx面的投影:S,)(yzS,,)(xySS在xOy面上的投影在xOy面上的投影区域的面积附以一定的S实际上就是正负号.zxS)(、与坐标面恰好等于yOzSzOx的二面角.7/39流向曲面一侧的流量.vcos||vA流量实例(为平面A的单位法向量)n(斜柱体体积)nvA(1)流速场为常向量,v有向平面区域A,求单位时间流过A的流体的质量(假定密度为1).引例AAn8/39(2)设稳定流动的不可压缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),,(),,(),,(),,(给出,函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP上连续，都在(假定密度为1)的速度场由v当不是常量,有向曲面求在单位时间内流向指定侧的流体的质量.是速度场中的一片有向曲面,9/39xyzoiSivin分割则该点流速为，iv法向量为.in),,(iiiiSn小块分成把曲面同时也代表iS(),小块曲面的面积第i上任取一点在iS),,,(iii),,(iiiivv10/39i求和niiiiSnv1取近似似值为流向指定侧的流量的近通过iSiiiSnv).,,2,1(ni高底iS通过Σ流向指定侧的流量),cos(||iiinvv取极限0.的精确值取极限得到流量11/39,为光滑的有向曲面设,上有界在函数A块小同时又表示第块小曲面分成把iSSnii(),曲面的面积,),,(上任意取定的一点是iiiiS1.定义二、第二型曲面积分概念与性质定义SnASAddiiiniiSASA),,(limd1012/39SnASAddyxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),,(dd),,(dd),,(,,,RQPA其中,),,(处的单位法向量上点有向曲面zyxyxxzzySnSdd,dd,dddd有向曲面元为cos,cos,cosn13/392.性质21ddyxR1ddyxR2ddyxRyxRkRkdd)(2211yxRyxRdddd21),(21为常数kkyxzyxRdd),,(yxzyxRdd),,((1)(2)(3)1k2k当曲面ΣyxRdd(4)为母线平行于z轴的柱面时,0表示Σ相反的一侧14/39Oyxz),(yxzz所给出方程),(yxzz,xyD上在xyDyxzz),(上侧,三、对第二型曲面积分的计算法设积分曲面Σ是由的曲面Σ在xOy面上的投影区域为函数具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在Σ上连续.xyDxys)(sdn15/39yxzyxRdd),,(xyyxRd],,[xyD),(yxz,取下侧若yxzyxRdd),,(,0cosxyDxyyxzyxRd)],(,,[坐标面上的面积微元。在是xoyxydSd16/39则有给出由如果,),(zyxxzyzyxPdd),,(则有给出由如果,),(xzyyxzzyxQdd),,(对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的yzDyzzyzyxPd],),,([zxDzxzxzyxQd]),,(,[侧.注17/39计算对坐标的曲面积分时:(1)认定对哪两个坐标的积分,将曲面Σ表为这两个变量的函数,并确定Σ的投影域.(2)将Σ的方程代入被积函数,化为投影域上的二重积分.(3)根据Σ的侧(法向量的方向)确定二重积分前的正负号.18/39xyzO解两部分和分成把21;1:2211yxz,1:2222yxz21投影域)0,0(1:22yxyxDxy例1计算yxxyzdd其中Σ是球面1222zyx外侧在0,0yx的部分.2ddddyxxyzyxxyz1ddyxxyzxyDyxxyxy22d1xyDyxxyxy22d)1(19/39xyDyxyxxydd1222.152xyDrdrdrr221cossin220/39xyzO)0,0,(a)0,,0(a),0,0(aO例2,dddddd222yxzxzyzyx计算其中Σ是所围成的正方体的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3先计算zyxdd2由于平面都是母线平行于x轴的柱面,则在其上对坐标y,z的积分为0.解ayyazz,0,,0)0(,,aazayax三个坐标面与平面外侧.Σ121/39x=a面在yOz面上的投影为正,而x=0面在yOz面上的投影为负.投影域均为:0≤y≤a,0≤z≤a,故zyxdd2yz2d0yzD4ayzDzyadd2由x,y,z的对等性知,所求曲面积分为3a4.yzDayz2d后两个积分值也等于a4.xyzO)0,0,(a)0,,0(a),0,0(aOΣ2Σ4Σ5Σ6Σ3Σ122/39四、两类曲面积分之间的联系SzyxPzyzyxPdcos),,(dd),,(SzyxQxzzyxQdcos),,(dd),,(SzyxRyxzyxRdcos),,(dd),,(其中coscoscos、、是有向曲面Σ在点),,(zyx处的法向量的方向余弦.23/39yxRxzQzyPdddddd两类曲面积分之间的联系不论哪一侧都成立.SRQPd)coscoscos(24/39解zyxzdd)(2有上在曲面,,1cos22yxxSxzdcos)(2cos)(2xz,dddd)(2yxzzyxz计算介于平面是旋转抛物面其中)(2122yxz例3之间的部分的及20zz下侧.2211cosyxyxxxzdd))((2nSzydcosddcosddyxdScosyxddxyzO225/39yxzzyxzdddd)(2xyDyxyxxdd)](21[2222022220d)21cos(drrrrxyDyxxxyxxy22222d)}(21)(])(41{[yxzxxzdd]))([(28)(2122yxzzyxzdd)(2yxxxzdd))((2nxyzO233/39与两平面是由曲面设222ryxS.dddd2222Szyxyxzzyx解下底及圆柱面分别记做的上底将,S,:1rzS,:2rzS2223:ryxSS2S3S1S,,rzrz求1222ddSzyxzyx而2222ddSzyxzyx32222ddSzyxyxz000,)0(围成立体表面的外侧r34/3912222ddSzyxyxz22222ddSzyxyxz3222ddSzyxzyxxyDryxyxr2222ddxyDryxyxr2222)(dd)(Szyxyxzzyx2222dddd,:1rzS,:2rzS2223:ryxS35/39yzDzrzyyr2222ddyzDzrzyyr2222ddyzDzrzyyr2222dd2rrzrzyyr022022dd42ryryryr0222]21arcsin2[8rrzr0arctan1.212rzyOrrrr36/39思考题,:,dd22222外侧沿求azyxyxz37/39思考题解答因为上半球面2221:yxaz,xyDxOy面的投影为正在下半球面2222:yxaz.xyDxOy面的投影为负在yxzIdd2故ybbbxzyxzdddd2122yxyxaxyDdd)(2222yxyxaxyDdd)(2222038/39关于曲面侧的性质小结对坐标的曲面积分的计算对坐标的曲面积分的概念四步:分割、取近似、求和、取极限思想:化为二重积分计算;对坐标的曲面积分的物理意义注意:“一投,二代,三定号”对坐标的曲面积分的性质两类曲线积分之间的联系方法: