大学课件 高等数学 下学期 10-1(微分方程的基本概念)

一、问题的引入二、微分方程的定义与分类三、微分方程的解与初值问题四、例题五、小结（主要内容、重点、难点）一、问题的引入引例1已知一条曲线通过原点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线方程。)(xf解该所求曲线为，根据导数的几何意义及本题所设，可知未知函数满足2,dyxdx0|0;xy（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）下面求未知函数：;3132Cxdxxy将初始条件代入上式，得：0|0xy;03102C＝由此得，0C故所求曲线方程为.331xy（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）引例2列车在一段笔直的铁路上以20米／秒的速度行驶，当制动时列车获得加速度－0.4米／秒2，问开始制动后经多少时间列车才能完全停住？并求列车在这段时间内行驶的路程？ts解设列车开始制动秒后行驶米，即，根据题设，应有关系式：)(tss220.4;dsdt时，0t,0s;20dtdsV;4.04.01CtdtdtdsV＝;2.0)4.0(2121CtCtdtCts－将初始条件代入，得,201C;02C204.0tV＝－,202.02ttS＝－令，得到列车从开始制动到完全停住，共需0V.504.020（秒）t将（秒）代入中，求得列车在这段时间行驶的路程50t)(ts.5005020502.02（米）＝＝－S二、微分方程的定义与分类实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。例，都是微分方程。，2xdxdy4.022dtsd共性：两个引例得出的式子均含有未知函数的导数。也都是微分方程。，）（02xdxdtxtyxyzxzyxy，，xeyyy32又例注：本章我们只讨论常微分方程的求解。定义2：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程；分类I：常微分方程、偏微分方程例是常微分方程；，2xdxdy4.022dtsd是偏微分方程。yxyzxz分类Ⅱ：一阶微分方程、高阶（n阶）微分方程定义3：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。一阶微分方程：，）（0,,yyxF；),(yxfy高阶（n阶）微分方程：()(,,,,)0nFxyyy，()(1)(,,,,).nnyfxyyy例是一阶微分方程；2dyxdx是二阶微分方程。220.4dsdt分类Ⅲ：线性与非线性微分方程是一阶线性微分方程；)()(xQyxPy是二阶线性微分方程；)()()(xfyxQyxPy（特点：除外，其他各项关于均为一次。）()fx,,,yyy是非线性微分方程。02)(2xyyyx三、微分方程的解与初值问题确切地说，对于给定的微分方程定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为微分方程的解。1．微分方程的解，0],,,,[)(nyyyxF如果函数在区间I上有n阶连续导数，且满足微分方程)(xy，0)](,),(),(,[)(xxxxFn那么称函数是微分方程在区间I上的解。)(xy特解的图象：微分方程的积分曲线。（2）特解：确定了通解中任意常数以后的微分方程的解。（1）通解：包含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。微分方程的解分为：例微分方程其通解为，yy；xcey，0yy.cossin21xCxCy例微分方程其通解为通解的图象：微分方程的积分曲线族。即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的积分曲线。即：求过定点的积分曲线；初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。2．初值问题一阶：00(,)|xxyfxyyy二阶：0000(,,)|,|xxxxyfxyyyyyy初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。四、例题解的解，并求满足初始条件，的特解。例1验证函数是微分方程12cossinxCktCkt2220dxkxdt0|txA0|0tdxdt12sincos,dxkCktkCktdt222122cossin,dxkCktkCktdt将和的表达式代入原方程，有：22dtxdx，－0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk故是原方程的解。ktCktCxsincos21，AC102C，0|0tdtdx，Axt0|故所求特解为。ktAXcos补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分证明例2验证所确定的函数是微分方程的解。)ln(xyy)(xyy02)(2yyyyxyxxy),ln(xyy);(1yxyxyy故yxyyxy再对求导，得x，yxyyxyyxyy22，即02)(2yyyyxyxxy因此，是所给微分方程的解。)ln(xyy故所求方程为消去C，得解：例3求积分曲线族（C是任意常数）所满足的微分方程。2yCxC积分曲线族两边求导数，得Cy2yxyy2.yxyy五、小结（1）微分方程；微分方程的阶；1、本节学习内容（2）微分方程的解：通解；特解；初始条件；初值问题；积分曲线。本节重点在于理解常微分方程的解的概念。已知微分方程的通解，求通解所满足的微分方程，解决此类问题的关键是消去任意常数，求得自变量、函数以及函数的各阶导数之间的关系式。求微分方程涉及到积分运算，所以通解中包括一组任意常数，这说明微分方程有无穷多解。在一般情况下，在附加一组初始条件之后，从微分方程的通解中可求得一个确定的解，即特解，也即初值问题的解。2、重点3、难点六、练习题练习题1、设曲线上点处的法线与X轴交点为Q，且线段PQ被Y轴平分，试写出该曲线所满足的微分方程。）（yxP,练习题2、已知函数，其中，为任意常数，试求函数所满足的微分方程。121xxyCeCex12,CC因Y轴平分PQ，故P、Q两点的横坐标为相反值。于是得课堂练习题解答：1.解设所求曲线方程为，则该曲线在点处的法线方程为：)(xfy),(yxP);()(1xXxfyY－，＝令0Y，＝得)()(xfxfxX；即yyxX，－yyxx为所求方程。02xyy消去任意常数，可得所求微分方程为：将函数分别求一阶、二阶导数，得2.解：121xxyCeCex，121xxyCeCe，12xxyCeCe，.1xyy