大学课件 高等数学 下学期 9-6(高斯公式和斯托克斯公式)

1/47第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式二、物理意义---通量与散度三、斯托克斯公式四、物理意义---环流量与旋度2/47一、高斯公式vzRyQxPΩd)(,围成由分片光滑的闭曲面设空间闭区域上在、、函数),,(),,(),,(zyxRzyxQzyxPSRQPd)coscoscos(yxRxzQzyPdddddd具有则有公式一阶连续偏导数,或的整个边界曲面的是这里,cos,cos.),,(cos处的法向量的方向余弦上点是zyx外侧,3/47证明思路vzRyQxPd)(yxRxzQzyPdddddd分别证明以下三式,从而完成定理证明.yxzyxRvzRdd),,(dzyzyxPvxPdd),,(dxzzyxQvyQdd),,(d只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明.4/47xyzOxyzO证),(:22yxzz:3xyDyxyxzzyxz),(),,(),(:21设空间区域Ω母线平行于z轴的柱面.),(:11yxzz即边界面321,,由三部分组成:xyDxoy面上的投影域为在xyD(取下侧)(取上侧)(取外侧)nn坐标轴的边界曲面与任一平行假设域.的直线至多相交于两点n5/47xyzOxyDnnn由三重积分的计算法xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd),(),(21dyxzyxzzzRyxxyDddyxzyxRxyDyxzyxzdd),,(),(),(21yxzyxRvzRdd),,(d投影法(先一后二法)6/47xyzOxyDnnn由曲面积分的计算法yxzyxRdd),,(1取下侧,2取上侧,3取外侧xyDyxyxzyxRdd)],(,,[1yxzyxRdd),,(yxzyxRdd),,(xyDyxyxzyxRdd)],(,,[20123),(:22yxzz),(:11yxzzyxzyxRvzRdd),,(dyxzyxRdd),,(321yxzyxRdd),,(7/47xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12yxzyxRdd),,(yxzyxRvzRdd),,(d于是xyDyxyxzyxRyxzyxRdd)]},(,,[)],(,,[{12vzRd8/47若区域Ω的边界曲面与任一平行于坐标轴的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的曲面把Ω分为有限个闭区域,使得每个闭区域满足假设条件,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消.因此,高斯公式对这样的闭区域仍是正确的.9/47vzRyQxPd)(由两类曲面积分之间的关系知SRQPd)coscoscos(高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算.一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯Gauss公式的实质10/47xyzO解333,,zRyQxPzyxzyxIddd)(3222dddsin322rrr,32xxPrrRdsindd320004例1,dddddd333yxzxzyzyxI计算的为球面2222Rzyx,32yyQ23zzR5512R外侧.11/47使用Guass公式时易出的差错:(1)搞不清是对什么变量求偏导;RQP,,(2)不满足高斯公式的条件,用公式计算;(3)忽略了的取向,注意是取闭曲面的外侧.vzRyQxPd)(高斯公式yxRxzQzyPdddddd12/47xyzOn例2,dddddd222zyxyxzxzyzyxI计算解Izyxaddd3234343aaa的为球面2222azyx外侧.yxzxzyzyxdddddda1能否直接用点(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程将被积因被积函数中的函数化简，高斯公式13/47有时可作辅助面,(将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分,然后利用高斯公式.对有的非闭曲面的曲面积分,14/47coscoscos、、,d)coscoscos(222Szyx)0(0222hhzzzyx及介于平面锥面例3计算曲面积分之间下侧.的法向量的方向余弦.处在是),,(zyx为其中部分的解空间曲面Σ在xOy面上的,xyD曲面不是为利用高斯公式.投影域为xyzOnxyDh)(,:2221hyxhz,1取上侧1.1围成空间区域上在补构成封闭曲面,使用高斯公式.封闭曲面,1n15/47)ddd(2vzvyvxvzyxd)(2由对称性Szyxd)coscoscos(2221}0,),,({222hzzyxzyxzDyxddzzzhd220vzd2zzhd20342h00zzhd201nnxyzOhxyD先二后一法16/471d)coscoscos(222SzyxxyDyxhdd24h故所求积分为Szyxd)coscoscos(222.214h1cos,0cos,0cos1d2Sz)(,:2221hyxhz4421hh1nnxyzOhxyDyxyxSdddd001d17/47被积函数中有抽象函数,故无法直接计算.分析用高斯公式.例4,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxIΣ是锥面22zyx4222zyx所围立体的表面1222zyx计算设f(u)是有连续的导数,计算和球面及外侧.xyzO18/47解由于,3xP,32xxP,3122yzyfzyQ2231zzyfzzR故由高斯公式vzyxId)(3222dddsin34rrrrd214).22(59340dsin=20d3,13yzyfzQ,13zzyfyRxyzO26/471.通量为向量场设有一向量场kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(则称沿场中有向曲面Σ某一侧的曲面积分:通量.穿过曲面Σ这一侧的),,(zyxASAd二、物理意义通量与散度通量的计算公式yxRxzQzyPddddddkyxjxzizySddddddd27/472.散度设有向量场),,,(zyxA为场中任一点,),,(zyxP在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,V以表示从内穿出的通量,若当,0VV即缩成P点时,极限VV0limVSAVdlim0记为,divA散度.存在,则该极限值就称为向量场在P点处的A即AdivVV0limVSAVdlim028/47散度的计算公式kzyxRjzyxQizyxPA),,(),,(),,(设RQP,,均可导,),,(zyxA在则点处的散度为zRyQxPAdivvzRyQxPd)(高斯公式yxRxzQzyPddddddAdiv高斯公式可写成SAvAndddiv)coscoscos(RQPnAAn.的边界曲面是空间闭区域其中.的外侧法向量上的投影在曲面是向量AAn29/47例5向量场kzxjyeixyAz)1ln(22).(div)0,1,1(AP的散度在点解,),,(2xyzyxP,),,(zyezyxQ)1ln(),,(2zxzyxRPxPPyQPzRAdiv2)(PzRyQxP,12Py2,1Pze0122PzxzzRyQxPAdiv32/47三、斯托克斯(Stokes)公式斯托克斯公式定理设的正向与的侧符合右手规则，),,,(),,,(zyxQzyxP函数在内的一个空间区域内在包含曲面),,(zyxRzRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(为分段光滑的空间有向闭曲线,是以边界的分片光滑的有向闭曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式为33/47即有SyPxQxRzPzQyRdcoscoscos其中cos,cos,coszRyQxPddd方向余弦.是Σ指定一侧的法向量zRyQxPdddyxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)(34/47Γ的正向与Σ的侧符合右手规则:当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时,是有向曲面的正向边界曲线右手法则拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同.是有向曲面Σ的正向边界曲线.称Γn35/47RQPzyxyxxzzyddddddSRQPzyxdcoscoscos另一种形式cos,cos,cosn其中便于记忆形式zRyQxPdddzRyQxPddd36/47Stokes公式的实质表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.40/47zxOy解则1,1,131n计算曲线积分例6zyxyxzxzyd)(d)(d)(22222223zyx是平面其中截立方体:,10x,10y10z的表面所得的截痕,若从Ox轴的正向看去,取逆时针方向.取Σ为平面23zyx的上侧被Γ所围成的部分.)1,0,0()0,0,1()0,1,0(Oxy11212123yx21yxxyDΣ在xOy面上的投影为.xyD41/4711即31coscoscosSyxxzzyzyxId313131222222Szyxd)(34Sd2334xyDyxdd332.29)23(zyx上在yxSdd3dOxy212123yx21yxxyD42/47kzyxRjzyxQizyxPzyxA),,(),,(),,(),,(1.环流量的定义上的曲线积分中某一封闭的有向曲线则沿场AzRyQxPsdAddd环流量.四、物理意义---环流量与旋度设向量场按所取方向的沿曲线称为向量场A43/47sAd利用Stokes公式,zRyQxPdddRQPzyxyxxzzydddddd环流量SRQPzyxkjid44/47.)()()(kyPxQjxRzPizQyRRQPz