2020年中考数学冲刺专题：几何探究和证明(含答案)

2020中考数学冲刺专题：几何探究与证明（含答案）1.如图①，已知在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG.第1题图(1)求证：EG＝CG；(2)将图①中△BEF绕点B逆时针旋转45°，则点F落在对角线BD上，如图②，取DF中点G，连接EG，CG.问EG和CG相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由；(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③，再连接相应的线段，问线段EG和CG有何关系？(请直接写出答案)(1)证明：∵在正方形ABCD中，∴∠BCD＝90°.∵EF⊥BD，∴∠FED＝90°.∵G为DF中点，∴EG＝12DF，CG＝12DF.∴EG＝CG；(2)解：EG＝CG.证明：如解图①，延长EF交CD于点H，连接GH，第1题解图①∵在正方形ABCD中，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠EBF＝12∠ABC＝45°.∵EF⊥AB，∴∠FEB＝90°，∴∠EFB＝90°－∠EBF＝45°，∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝FE.∵∠BCD＝∠ABC＝∠BEF＝90°，∴四边形EBCH是矩形，∴HC＝EB＝EF，∠FHC＝90°，∴∠FHD＝180°－∠FHC＝90°.∵CD∥EB，∴∠HDF＝∠EBF＝45°，∴∠DFH＝90°－∠HDF＝45°，∴∠HDF＝∠DFH，∴HD＝FH.∵G为DF中点，∴∠DHG＝12∠DHF＝45°，∴∠GHC＝180°－∠DHG＝135°.∵∠EFG＝180°－∠DFH＝135°，∴∠GHC＝∠EFG，∵在Rt△DHF中，G为DF中点，∴GH＝12DF＝GF，∴△EFG≌△CHG(SAS)，∴EG＝CG；(3)解：EG＝CG，EG⊥CG.【解法提示】如解图③，理由如下：第1题解图②过点F作CD的平行线并延长CG交于点M，连接EM、EC，过点F作FN垂直于AB于点N，∵G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM，又∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠EFM＝180°－45°－∠BFH＝135°－∠BFH，∠EBC＝∠EBF＋∠FBH＝45°＋90°－∠BFH＝135°－∠BFH，∴∠EFM＝∠EBC，∴△EFM≌△EBC(SAS)，∴∠FEM＝∠BEC，EM＝EC，∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG.2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点(不与点A、C重合)，连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E.(1)如图①，当∠BAC＝45°时，则线段AE与线段CD之间的数量关系为________；(2)如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD之间的数量关系，并说明理由；(3)当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系(用含α的三角函数表示)．第2题图解：(1)AE＝2CD；【解法提示】如解图①，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∴AC－CD＝BC－BG，即CD＝CG，∴△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝2CD，∠DGC＝45°，∴∠DGB＝135°，∵AP⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠DAE＝90°＋45°＝135°，∴∠DAE＝∠DGB，∵DE⊥DB，∴∠EDB＝90°，∴∠EDA＋∠BDC＝90°，∵∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠EDA＝∠DBC，∴△EAD≌△DGB(ASA)，∴AE＝DG，∴AE＝2CD；(2)猜想：AE＝2CD，理由是：如解图②，过点D作DF∥AB，交BC于点F，则∠FDC＝∠BAC＝30°，ADCD＝BFCF，∴ADBF＝CDCF，∵AP⊥AB，DE⊥BD，∴∠BAP＝∠BDE＝90°，∵∠ADE＋∠BDE＋∠BDC＝180°，∴∠ADE＋∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∠FDC＝30°，∴∠DBC＋∠BDC＝90°，CF＝12DF，∴∠ADE＝∠DBC，∵∠DAE＝∠BAC＋∠BAP，∠BFD＝∠FDC＋∠ACB，∴∠DAE＝∠BFD，∴△DAE∽△BFD，∴ADBF＝AEFD，∴CDCF＝AEFD，∴DFCF＝AECD，∴AECD＝2，即AE＝2CD；(3)CD＝AE·sinα，【解法提示】如解图③，过点D作DF∥AB，交BC于点F，则∠FDC＝∠BAC＝α，ADCD＝BFCF，∴ADBF＝CDCF，∵AP⊥AB，DE⊥BD，∴∠BAP＝∠BDE＝90°，∵∠ADE＋∠BDE＋∠BDC＝180°，∴∠ADE＋∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∠FDC＝α，∴∠DBC＋∠BDC＝90°，sin∠FDC＝sinα＝CFDF，∴∠ADE＝∠DBC，∵∠DAE＝∠BAC＋∠BAP，∠BFD＝∠FDC＋∠ACB，∴∠DAE＝∠BFD，∴△DAE∽△BFD，∴ADBF＝AEFD，∴CDCF＝AEFD，∴CDAE＝CFFD＝sinα，∴CD＝AE·sinα.第2题解图3.已知在正方形ABCD中，点E在直线AB上，点F在直线BC上，连接DE、DF，∠EDF＝45°.(1)如图①，点E，点F分别在线段AB，BC上时，直接写出AE，CF，EF的数量关系；(2)如图②，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，求AE，CF，EF的数量关系；(3)如图③，在(2)的条件下，若AE＝2AB＝8，求EF的长．第3题图解：(1)EF＝AE＋CF.【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，如解图①：延长BA，使AM＝CF，且AD＝CD，∠C＝∠MAD，∴△AMD≌△CFD(SAS)，∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠ADE＋∠FDC＝45°，∴∠ADM＋∠ADE＝45°＝∠MDE，∴∠MDE＝∠FDE，且DM＝DF，DE＝DE，∴△EDF≌△EDM(SAS)，∴EF＝EM，∵EM＝AM＋AE＝AE＋CF，∴EF＝AE＋CF；第3题解图①第3题解图②(2)如解图②：在AB上截取AM＝CF，∵AD＝CD，AM＝CF，∠A＝∠DCF＝90°，∴△ADM≌△CDF(SAS)，∴DM＝DF，∠ADM＝∠CDF，∵∠ADM＋∠MDC＝90°，∴∠CDF＋∠MDC＝90°，即∠MDF＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠EDF＝∠MDE＝45°，且DM＝DF，DE＝DE，∴△MDE≌△FDE(SAS)，∴EF＝EM，∵AE＝AM＋ME，∴AE＝CF＋EF；(3)∵AE＝2AB＝8，∴AB＝BC＝BE＝4，∵AE＝CF＋EF，∴CF＝8－EF，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝16＋(4＋8－EF)2，∴EF＝203.4.在菱形ABCD中，P为直线AD上的点，Q为直线CD上的点，分别连接PC，PQ，且PC＝PQ.(1)若∠B＝60°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图①，证明：DQ＋PD＝AB；(2)若∠B＝60°，点P在线段DA的延长线上，点Q在线段CD上，如图②，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系，并给予证明；(3)若∠B＝120°，点P在线段DA上，点Q在线段CD的延长线上，如图③，猜想线段DQ，PD和AB之间有怎样的数量关系？并给予证明．第4题图(1)证明：如解图①，在CD上取CH＝DQ，连接PH，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵CH＝DQ，∴△PCH≌△PQD(SAS)，∴PH＝PD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，∠PDC＝∠B＝60°，∴△PHD是等边三角形，∴PD＝HD，∴PD＋DQ＝DH＋CH＝CD＝AB；(2)解：猜想PD－DQ＝AB.证明：如解图②，延长CA到点M，使得AM＝AP，连接PM.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAD＝∠PAM＝60°，∴△PAM是等边三角形，∴AM＝PM，∠M＝∠ACD＝60°，∴PM∥CD，∴∠PCD＋∠CPM＝180°，∵PC＝PQ，∴∠PCQ＝∠PQC，∵∠PQC＋∠PQD＝180°，∴∠CPM＝∠PQD，∴△PCM≌△QPD(AAS)，∴CM＝PD，PM＝DQ＝AM，∵CM＝AC＋AM＝AB＋DQ，∴PD－DQ＝AB；(3)解：猜想：DQ－PD＝AB.证明：如解图③，在DQ上截取DM＝DP，连接PM.∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠PDM＝60°，∴△PDM是等边三角形，∴PD＝PM，∠PMC＝∠PDQ＝60°，∵PC＝PQ，∴∠PCM＝∠Q，∴△PCM≌△PQD(AAS)，∴CM＝DQ，∴CD＋DM＝DQ，∴AB＋PD＝DQ，即DQ－PD＝AB.第4题解图5.在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在DC的延长线上，且DEBD＝k，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F.(1)如图①，当k＝1时，求证：AF＋EF＝AB；(2)如图②，当k＝2时，直接写出线段AF、EF、AB之间满足的数量关系：________；(3)如图③，当DEBD＝k时，请猜想线段AF、EF、AB之间满足的数量关系(含k)，并证明你的结论．第5题图(1)证明：如解图①，延长AD、EF交于点G，当k＝1时，DE＝BD，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，在△ABD与△GED中，∠BAD＝∠EGD∠BDA＝∠EDGBD＝ED，∴△ABD≌GED(AAS)，∴AB＝GE，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝AB;(2)解：AF＋EF＝2AB.【解法提示】如解图②，延长AD、EF交于点G，当k＝2时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GEAB＝DEDB＝2，即GE＝2AB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝2AB；(3)解：猜想：AF＋EF＝kAB.证明：如解图③，延长AD、EF交于点G，当DEBD＝k时，∵EF∥AB，∴∠BAD＝∠EGD，又∵∠BDA＝∠EDG，∴△ABD∽△GED，∴GEAB＝DEBD＝k，即GE＝kAB，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠FGD＝∠DAC，∴AF＝GF，∵GF＋EF＝GE，∴AF＋EF＝kAB.第5题解图类型二两条线段之间的数量关系与位置关系证明6.如图，已知△ACB和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，连接BE，点F为BE的中点，连接CF，DF.(1)如图①，点D在AC上，延长DF，交BC于点G，请判断线段CF，DF有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；(2)将图①中的△ADE绕点A旋转到图②位置，延长DF至G使GF＝DF，DG与AB交于点O，连接BG，CG，DC，请判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第6题图解：(1)DF＝CF，DF⊥CF；理由：∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F为BE中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF(AAS)，∴DE＝GB，DF＝GF.∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，∴DC＝GC.∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF；(2)(1)中的结论仍然成立，理由是：在△FDE和△FGB中，DF＝FG∠DFE＝∠GFBEF＝FB，∴△FDE≌△FGB(SAS)，∴∠DEF＝∠GBF，DE＝GB，∴BG∥DE，如解图，延长DE交BC于点M，∵DE∥BG，∴∠CBG＝∠DMB，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DMC＝180°，∴∠DMB＝∠DAC＝∠CBG，在△CAD和△CBG中，∵