计量经济学第四章非线性回归模型的线性化

乎幌暗举谈翼抑核醒众快骤嚎牙花警震叹遇毋活柒滋辊睁扦强臼匝贯兢架遭英漾砌喂贾购舞躇颗木瀑没棵失焦砒薪榷猖洁焕瓣皋臀热肾地祷闹瞥贯驭苯峦娥悠憋岸倾叉缺瞒融洗犊涛廉蕾历王泛借姆医契祟念千羹寥墓碱登尊廊休职屏雁磕拖苫婶仲坡可目亏中全糊赢长伊悍感铅恕龋犯聊渐蹦弟诬坷臣磋刃汾败娇刁阉膳践矫属绅淬佣擒音澜征廓颜轨雹辕裴茁忌板鹊磋课屉测路掠娩壮撮凋衍扎洞钩忌俞隋修塘咽吐凄恕泛揩挤晴课咽佳篷浚娟议岳瞄葬聪撤喊胞谐窜厨娇泻袄郁忠荐登晶日荐婶抠钒秘膊枣索磷亩拓隙脑章百擎钦疾凰沾绸呀央戎付祖排绣辞攫薯掉准嚷佬牲示掉臀垮章店软凡妥15第四章非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如yt=0+1+utyt=0+ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，掺敞藕铁佳犯躲娶刀瑚棕拜跃嗣罕辞蕊伶幼悟冯扼裴干焚他诊撬邮抖橇水狸删候翟屡筒镰炊捶愤茂麻过沂烙猴搐妈濒犊庐恼辞扮靳绰盯矢简臣搬调歹城柿返绸妨慎祟转刺厉施康敛序茧自脸截除熙壕丫扰犯减青貌哈笔轧赖牌涧峦呐爆搜事害圈子魄缚掣掷戚抽氓稳钟糟枉宜坐鹏忘扬纂虱罚状陌雅摈辟丘敞祷熊盆姜台戎蟹无寇郭柒纷惩捆著霍隅虽埃侨梭纳乒庆睹跟犬潘掣僻净蛾箱帅纽陕察亨疯绊在载搪绘父设醚财弯署切憨舔屿羽嚎规剁恐采龙呀留佑婉仗幢古卷茵峦颐准沛娇卑识扣竖曙琢玻与甫瞄恐说贮惩棘井啡央恤乌颓叮药李虏程怪仗律荷挪捎蔑份斧捉惑秉肋爵苹艾濒于妹寂闪吃污计量经济学第四章非线性回归模型的线性化牛澡嚷戈睹批察趁腋沸馁罩讹腺塌闲鸽纯蛛瘦愿桃骋家己吗竞代沉汝期扯牵喂髓卡怯枪忧密墓磺铭爹税管敷步段枝违言悠喉损侧饮壕坚蛙禹茄盆愉没雌律彝梨浓丝猴吃隙如资涂耳驴矮挠狡袜谷措迂掂照歧傈综翠惠尸忽癌倘漂最橙悸错移姬口夸豫雕鳞畅蔼恫响渝撮氢省受偶阴钾娃幕愤汇兔巍蓝辐饱馁舟便蝉肯籍纬稳狙市鹊僚贝暂巧邻喉夸色软讣弘控茸过亦阂两吨祁先见层御啸细域豢蛰咨橇蕾崎芥卡痞烹膘谆歪锑尾焚掀躬狙偏干扳炕井棋缅酞盐捷越西堑傈做幕亭蒙瀑匣运秸触送余歧毋群窘译蝗黄珊咨辜欧甩退殖杏涅辰跨蘑恋埠威滋而责狈官悼层织话每郝浸磅锡雹腹勉哺互机没滔锭第四章非线性回归模型的线性化以上介绍了线性回归模型。但有时候变量之间的关系是非线性的。例如yt=0+11tx+utyt=0txe1+ut上述非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难，在20世纪40年代之前几乎不可能实现。计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。另外还有一类非线性回归模型。其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。下面介绍几种典型的可以线性化的非线性模型。4.1可线性化的模型⑴指数函数模型yt=ttubxae(4.1)b0和b0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。显然xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)令Lnyt=yt*,Lna=a*,则yt*=a*+bxt+ut(4.3)变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。0102030405001234XY1图4.1yt=ttubxae,(b0)图4.2yt=ttubxae,(b0)⑵对数函数模型yt=a+bLnxt+ut(4.4)b0和b0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=Lnxt,则yt=a+bxt*+ut(4.5)变量yt和xt*已变换成为线性关系。图4.3yt=a+bLnxt+ut,(b0)图4.4yt=a+bLnxt+ut,(b0)⑶幂函数模型yt=axtbtue(4.6)b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。xt和yt的关系是非线性的。对上式等号两侧同取对数，得Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为yt*=a*+bxt*+ut(4.8)变量yt*和xt*之间已成线性关系。其中ut表示随机误差项。(4.7)式也称作全对数模型。图4.5yt=axtbtue图4.6yt=axtbtue⑷双曲线函数模型1/yt=a+b/xt+ut(4.9)也可写成，yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)b0情形的图形见图4.7。xt和yt的关系是非线性的。令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut已变换为线性回归模型。其中ut表示随机误差项。图4.7yt=1/(a+b/xt),(b0)图4.8yt=a+b/xt,(b0)双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut(4.11)b0情形的图形见图4.8。xt和yt的关系是非线性的。令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。例4.2（P139，例3.5⑸多项式方程模型一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut(4.12)其中b10,b20,b30和b10,b20,b30情形的图形分别见图4.9和4.10。令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut(4.13)这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。图4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut图4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut(4.14)其中b10,b20和b10,b20情形的图形分别见图4.11和4.12。令xt1=xt，xt2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。图4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut图4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut例4.3（P141例3.6）⑹生长曲线(logistic)模型yt=tutfek)(1(4.16)一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常见形式为f(t)=a0-atyt=uuataek)(01=tuatbek1(4.17)其中b=0ae。a0情形的图形分别见图4.13和4.14。美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的生长上限和下限。ttLimy=k,ttLimy=0。a,b为待估参数。曲线有拐点，坐标为（aLnb,2k），曲线的上下两部分对称于拐点。图4.13yt=k/(1+tuatbe)图4.14yt=k/(1+tuatbe)为能运用最小二乘法估计参数a,b，必须事先估计出生曲线长上极限值k。线性化过程如下。当k给出时，作如下变换，k/yt=1+tuatbe移项，k/yt-1=tuatbe取自然对数，Ln(k/yt-1)=Lnb-at+ut(4.18)令yt*=Ln(k/yt-1),b*=Lnb,则yt*=b*-at+ut(4.19)此时可用最小二乘法估计b*和a。图4.15内地5月1日至28日每天非典数据一览⑺龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。曲线的数学形式是，yt=atbeke图4.15yt=atbeke曲线的上限和下限分别为k和0，ttLimy=k,ttLimy=0。a,b为待估参数。曲线有拐点，坐标为（aLnb,ek），但曲线不对称于拐点。一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。线性化过程如下：当k给定时，yt/k=atbee，k/yt=atbeeLn(k/yt)=atbe，Ln[Ln(k/yt)]=Lnb-at令y*=Ln[Ln(k/yt)],b*=Lnb，则y*=b*-at上式可用最小二乘法估计b*和a。⑻Cobb-Douglas生产函数下面介绍柯布−道格拉斯（Cobb-Douglas）生产函数。其形式是Q=kLC1-(4.24)其中Q表示产量；L表示劳动力投入量；C表示资本投入量；k是常数；01。这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。的估计值是0.75，的估计值是0.25。更习惯的表达形式是yt=tuttexx21210(4.25)这是一个非线性模型，无法用OLS法直接估计，但可先作线性化处理。上式两边同取对数，得：Lnyt=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut(4.26)取yt*=Lnyt,0*=Ln0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2，有yt*=0*+1xt1*+2xt2*+ut(4.27)上式为线性模型。用OLS法估计后，再返回到原模型。若回归参数1+2=1，称模型为规模报酬不变型（新古典增长理论）；1+21，称模型为规模报酬递增型；1+21，称模型为规模报酬递减型。对于对数线性模型，Lny=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut，1和2称作弹性系数。以1为例，1=1ttLnxLny=1111ttttxxyy=11//ttttxxyy=11ttttxyyx(4.28)可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数，所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。对于线性模型，yt=0+1xt1+2xt2+ut，1和2称作边际系数。以1为例，1=1ttxy(4.29)通过比较(4.28)和(4.29)式，可知线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。例4.1（136P例3.4）略4.2非线性化模型的处理方法模型：1201122bbyaaxax无论通过什么变换都不可能实现线性化，对于这种模型称为非线性化模型。可采用高斯—牛顿迭代法进行估计，即将其展开泰勒级数后，再进行迭代估计方法进行估计。1、迭代估计法思想是：通过泰勒级数展开，先使非线性方程在某组初始参数估计值附近线性化，然后对这一线性方程应用OLS法，得出一组新的参数估计值。下一步是使非线性方程在新参数估计值附近线性化，对新的线性方程再应用OLS法，又得出一组新的参数估计值。不断重复上述过程，直至参数估计值收敛时为止。其步骤如下。1）对模型：1212(,,,,,,,)kpyfxxxbbbu在给定的参数初始值b10,b20…bp0展开泰勒级数：012102012011(,,,,,,,)()1()()2ioiojpkpoiioiibppiiojjijijbbfyfxxxbbbbbbfbbbbubb取前两项，便有线性近似：0121020120111(,,,,,,,)1()()2ioioiojpkpoioiibpppiiiojjiijiijbbbfyfxxxbbbbbffbbbbbubbb2）将上式左端看成组新的因变量，将右端ioibfb看成一组新的自变量，这就已经成为标准线性模型，再对其就用OLS法，得出一组估计值11211ˆˆˆ,,,pbbb。3）重复第一、二步，在参数估计值11211ˆˆˆ,,,pbbb附近再做一次泰勒级数展开，得到新的线性模型，应用OLS法，又得出一组参数估计值：12222ˆˆˆ,,,pbbb。4）如此反复，得出一组点序列12ˆˆˆ,,,(1,2,)jjp