新人教部编版七年级数学4.3.2-角的比较与运算

4.3角4.3.2角的比较与运算人教版数学七年级上册有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.导入新知小明的折扇小华的折扇ABCDEF怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?导入新知素养目标2.弄清角平分线的含义，会用数学式子表示角平分线.1.会比较两个角的大小,会计算两个角的和、差.线段长短的比较ABCDABCDAB=CD知识点1角的大小与比较探究新知AB=BC+ACBC=AB–ACAC=AB–BC线段的和、差线段中点若点C是线段AB的中点，则AC=BCAC=BC=ABAB=2AC=2BC12探究新知类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？1.度量法类比探究探究新知2.叠合法ABO(O')B'(A')ABOABO(O')B'(A')∠AOB＜∠A'O'B'∠AOB=∠A'O'B'∠AOB＞∠A'O'B'(O')(B')(A')探究新知想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？(两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B')图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC；它们的关系：∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC–∠BOC；类似地，∠AOC–∠AOB=.∠BOCABOC探究新知1.如图所示：(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？BAOCD∠AOC=∠AOB+∠BOC.∠AOB=∠AOC–∠BOC=∠AOD–∠BOD.∠AOC=∠BOD.巩固练习例1如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.解：∵∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.∴∠BOC＝∠AOB–∠AOC＝180°–53°17′＝179°60′–53°17′＝126°43′.OCBA如何计算？可以向180º借1º，化为60′.素养考点1求角的度数探究新知(2)如图②，若∠AOB=60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝°．(1)如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝°．7520ABOCABOC图①图②2.计算下列角的度数.巩固练习(3)若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝°．90或30OBACC提示：无图条件下要分情况讨论.巩固练习3.如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？75°15°巩固练习例2把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？解：360°÷7=51°+3°÷7=51°+180′÷7≈51°26′.答：每份是51°26′的角.有余数，可以把度的余数化成分后再除.素养考点2角的度数的计算探究新知（1）120°–38°41′；（2）67°31′+48°49′.解：原式=119°60′–38°41′=81°19′.解：原式=(67+48)°+(31+49)′=115°80′=116°20′.4.计算.巩固练习涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.探究新知归纳总结（1）20°30′×8；（2）106°6′÷5.解：原式=(106÷5)°+(6÷5)′=21°+1°÷5+(6÷5)′=21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5=21°+13′+60″÷5=21°13′12″解：原式=20°×8+30′×8=160°240′=164°5.计算.巩固练习角的平分线BAOC动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.=2知识点2探究新知一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.应用格式：OBAC探究新知∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC.21例3如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？解：∵OB平分∠AOC，∠AOC=80°，OABCDE∴∠BOC=∠AOC=×80°=40°.1212素养考点3利用角平分线求角的度数探究新知(2)如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？解：∵OB平分∠AOC，∴∠BOC=∠AOB=40°.∵OD平分∠COE，∴∠COD=∠DOE=30°，∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°.OABCDE探究新知(3)如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？解：∵∠COD=30°，OD平分∠COE，∴∠COE=2∠COD=60°，∴∠AOC=∠AOE–∠COE=140°–60°=80°.又∵OB平分∠AOC，OABCDE∴∠AOB=∠AOC=×80°=40°.1212探究新知6.如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是()1A22B31C33D2CODAOCAODAOBBODAOBBOCAOB．．．．AOABCD巩固练习7.如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.答案：∠AOD=122°.OABCD巩固练习例4如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．OAB解：分以下两种情况：设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．CD如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，素养考点4利用比例或倍分求角的度数探究新知∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x–2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．OABCD如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．探究新知涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.探究新知归纳总结8.已知如图∠AOB＝∠BOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝75°,则∠BOD=_______.13解析：设∠BOD＝x°,则∠AOB＝所以解得x=90,故∠BOD=90°.11BOC32xx，＝，117523xx，90°巩固练习连接中考解析：∵∠BOC=29°18′，∴∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为．150°42′巩固练习29°18′AOBC1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于()A．55°B．25°C．55°或25°D.50°2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是()A．25°B．40°C．50°D．65°CA课堂检测基础巩固题3.如图，∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，求∠COD的度数.解:∵∠BOC=∠AOB–∠AOC=170°–90°=80°,∴∠COD=∠BOD–∠BOC=90°–80°=10°.课堂检测基础巩固题BAODC4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.解析:86°23′12″–67°36′50″=86°22′72″–67°36′50″=85°82′72″–67°36′50″=(85–67)°(82–36)′(72–50)″=18°46′22″.18°46′22″课堂检测基础巩固题5.计算：(1)15°24′×5.(2)31°42′÷5.解:(1)15°24′×5=75°120′=77°.(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5=6°+102′÷5=6°+20′+2′÷5=6°20′+120″÷5=6°20′+24″=6°20′24″.课堂检测基础巩固题如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．OADCB解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°–x，∴∠AOB=90°+60°–x=150°–x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°–x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．课堂检测能力提升题如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1)求∠EOD的度数；解：∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝×120°＝60°.121212课堂检测拓广探索题(2)若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°–90°＝30°.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.1212课堂检测拓广探索题角的大小比较度量、叠合、翻折角的和差角的平分线图形语言、文字语言、符号语言方法作法描述课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习